Problemas Resueltos De Optimización

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE OPTIMIZACIÓN

Problema No. 1 Análisis de las utilidades marginales.

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Introducción: El análisis de las utilidades marginales está interesado en el efecto sobre las utilidades si se produce y vende una cantidad adicional del producto. Mientras que los ingresos adicionales obtenidos en la siguiente unidad exceden elcosto de producir y vender esa unidad, habrá una utilidad neta al producir y vender esa unidad y las utilidades totales aumentan. Una regla rápida de decisión con respecto a la producción de una unidad adicional es (suponiendo que la utilidad es de suma importancia).
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Si el ingreso marginal > Costo marginal, producir la siguiente unidad.-------------------------------------------------
Pero si los ingresos adicionales por la venta de la siguiente unidad se ven excedidos por el costo de producir y vender la unidad adicional, habrá una pérdida neta en esa siguiente unidad y las utilidades totales disminuyen. Por lo tanto:
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Si el Ingreso Marginal< Costo Marginal, no producir lasiguiente unidad.
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La condición para maximizar la utilidad total es identificar el punto donde
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Ingreso marginal = Costo marginal
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Indicado en función de las derivadas:
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I´(x)= C´(x)

Problema:Una empresa que elabora playeras de algodón formuló la siguiente función de ingresos totales y costos totales, establecidas en términos del nivel de producción(x) y en pesos.

Ingresos Totales= IT (x)= 500x – 0.005 x2

Costos Totales = CT (x)= 150 000 + 100x + 0.003x2

a) Determinar el punto donde la utilidad total se maximizará.
b) Comprobar el resultado mediante la segunda derivada.c) ¿A cuánto ascenderán los ingresos y costos totales de la empresa?
Solución.
a) Para contestarla procederemos así:

La función original de Ingresos Totales es IT (x)= 500x – 0.005 x2

La primera derivada es IT´(x) = 500-0.01x

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Nota→ Dada una función de ingresos totales, la derivada representa la rapidez de cambio instantánea y seutiliza para representar los ingresos marginales: IT´(x)= Ingreso Marginal.

La función original de Costos Totales es CT(x) =150 000 + 100x + 0.003x2

La primera derivada es CT´(x)= 100+ 0.006x

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Nota→ Dada una función de costos totales, la derivada representa la rapidez de cambio instantánea y se utiliza para representar los costos marginales:CT´(x)= Costo Marginal.

Por lo tanto, la condición para maximizar la utilidad total es identificar el punto donde
Ingreso marginal = Costo marginal, lo que sucede cuando:
IT´(x)=CT´(x)
500-0.01x=100+ 0.006x
-0.016x=-400
X= 25 000
La cantidad donde la utilidades se maximizarán será en 25 000 unidades producidas.

b) Comprobar el resultado mediante la prueba de la segunda derivada.IT´´(x) = -0.01 CT´´(x)= 0.006
-0.01<0.006 → Por lo tanto, si existe un máximo relativo sobre la función de utilidades.

c) ¿A cuánto ascenderán los ingresos y costos totales de la empresa?
Si recurrimos a las funciones originales y verificamos la cantidad máxima encontramos que:
IT (x)= 500x – 0.005 x2
IT (25000)= 500(25000) – 0.005 (25000)2 = 12500000 – 3125000= $9375000

CT(x) =150 000 + 100x + 0.003x2
CT(25 000) =150 000 + 100(25000) + 0.003(25000)2 = 150000+ 2500000+ 1875000= $ 4525000

Si a los ingresos le restamos los costos, la utilidad obtenida en su punto máximo es de $ 4850000.

Cabe hacer algunas anotaciones sobre la gráfica:
* Entre los puntos C y D la función de ingresos está encima de la función de costos, indicando...