Problemas

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Caso con una variable
El uso más común del operador diferencial es la acción de tomar la derivada en sí misma. Las notaciones comunes de esteoperador incluyen:

Las dos primeras se usan fundamentalmente cuando se quiere hacer explícitca la variable respecto a la cual se toman las derivadas ordinarias, la última forma sólo se usa cuando por elcontexto está claro cual es la variable respecto a la que se deriva (sin necesidad de explicitarla). Las primeras derivadas se toman como arriba pero, para las derivadas de orden superior,las n-ésimas, son útiles los siguientes cambios:

lineales ordinarios
* El uso y la creación de la notación  para la derviada k-ésima se debe a Oliver Heaviside, quien consideraba los operadoresdiferenciales lineales ordinarios de la forma:

Donde:
 son funciones definidas sobre el dominio .
 denota a las funciones diferenciables con continuidad en el dominio 
 denota a las funciones continuas enel mismo dominio.
en su estudio de las ecuaciones diferenciales.
* La derivada simple es, como se ha dicho, un operador diferencial lineal sobre el conjunto de funciones reales de variable real.* Una ecuación diferencial ordinaria se puede expresar mediante un operador lineal en la forma , donde  es la función incógnita.
Propiedades de los operadores diferenciales
* Ladiferenciación es lineal, i.e.

en donde f y g son funciones y a es una constante.
* Cualquier polinomio en D con funciones como coeficientes es también un operador diferencial. También se pueden componeroperadores diferenciales con la regla

* Esta última propiedad dota al conjunto de los operadores lineales, sobre un cierto espacio de funciones reales, de estructura de espacio vectorial sobre  yde modulo izquierdo sobre el mismo conjunto de funciones. Eso último implica a su vez que el conjunto de operadores constituyen un álgebra asociativa.
* Se requiere de algo de cuidado:...