problemas

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2.4 Algunas applicaciones.
EJEMPLO 4
Utilidades y capital reinvertido por una constructora

En 2011 las utilidades de la compañía constructora VIPAR, S.A., fueron de 18 millones de pesos. En 2014 fueron de 20.25 millones. Suponiendo que el incremento se sostiene de manera geométrica, determine:

a) La tasa de incremento anual en las utilidades.
b) Las utilidades que se estimatendrá en el año 2023.
c) La reinversión total entre 2011 y 2023 inclusive, si la empresa reinvierte el 45% de sus ganancias

SOLUCION
a) Si las utilidades de 2011 son U1Utilidades y capital reinvertido por una constructora , las de 2012 son :

U2 = U1 + U1 (v) o bien U2 = U1 ( 1+ V)

Donde V es la tasa de crecimiento.
Las de 2013 y 2014 son, respectivamente.
U3 = U1 ( 1+V)2y U4 = U1 ( 1+v ) 3
Dado que U1 = 18 y U4 = 20.25 millones , al sustituir en la ultima de estas igualdades quedara.
20.25
=
 18(1
+
 
v
)
3
 ya que también
 a
4
 
=
 
a
1
r 
n
−
1
 de donde 20.25/18
=
 (1
+
 
v
)
3
 1.125
=
 (1
+
 
v
)
3
 1
+
 
v
 
=
 1125
3
. se saca raíz cúbica a los 2 lados 1
+
 
v
=
 1.040041912 v
=
 1.040041912
−
 1, por lo tanto,
v
=
 0.040041912
20.25 =18(1 +v)
ya que también a4=a1r n−1
De donde 20.25/18 = (1 +v)
1.125 =(1 +v)
1 +v= 1125. Se saca raíz cúbica a los 2 lados
1 +v =1.040041912
v = 1.040041912 −1, por lo tanto, v = 0.040041912

Significa que el incremento anual en las utilidades fue del 4%
aproximadamente.

b) Las utilidades Del 2023 tendrán 12incrementos respecto de las de 2011, por esto serán

U 13=18(1.040041912)12
U 13=18(1.601806649)
U 13= 28.83251968 millones de pesos

c) Para hallar el capital que se reinvierte es necesario sumar las utilidades de los 13 años, las cuales conforman una serie geométrica con:

al= 18 millones, el primer término

r =1.040041912, la razón constante

n = 13, el número de términos80

Capitulo 2 : Series y sucesiones
La suma, tal como se estudió en la sección 2.3, es:
S n=18 1-(1.040041912)13 / 1-(1.040041912) ya que Sn = a1 1-rn / 1-r
S n = 18(16.63122505)
S n = 299.3620509
De esto, el 45% se reinvierte:
0.45(299.3620509) = 134.7129229 o bien, $134’712,922.90La suma, tal como se estudió en la sección 2.3, es:
S 
n
=
181104004191211040041912
13
−
()
−
( )
..
 
ya que
Sar r 
nn
=
1
11
−−
 S 
n
=
 18(16.63122505)
S 
n
=
 299.3620509De esto, el 45% se reinvierte:0.45(299.3620509)
=
 134.7129229 o bien, $134’712,922.90

EJEMPLO 5

¿Dentro de 2 años cuál será el precio en moneda nacional de una impresora digital, cuyo precio actual es de US$9,750, mismo que se incrementa un 1.8% cada semestre? Considere que lamoneda se devalúa un 0.3% cada mes y el tipo de cambio actual es $11.21 por cada dólar.
SOLUCION
Para calcular el valor del dólar al cabo de 2 años, suponga que P0 es el tipo de cambio actual, por lo que dentro de 1 mes éste será:
P1= P0+0.003 P0
P1=(1.003)P0

Al final del segundo mes, será un 0.3% mayor:
P2=P 1+0.003P1
P2=(1.003)P1
P2=(1.003)(1.003)P 0 porque P 1= 1.003P0
P2= (1.003)2P0ya que a(a) =a2

Continuando de forma semejante, se llegará a que al finalizar el vigésimo cuarto mes, el tipo de cambio será.
P 24= (1.003)24P 0=(1.074539519)(11.21) ya que P 0 =11.21
o bien,
P 24 =$12.04558801
De manera semejante, el precio de la impresora en dólares dentro de 4 semestres será:
C =9,750(1.018)4
C = US$10,471.18247
y en moneda nacional será:
C =10,471.18247(12.04558801)o bien,
C= $126,131.55

.81
2.4: Algunas aplicaciones
Observe usted que si el tipo de cambio actual es P 1, en vez de P0, entonces al término del vigésimo cuarto mes será P 25 y P25= P1(1.005)24 porque P n=P 1(r )n−1 según el teorema 2.3, y lo mismo puede decirse de C .

Ejemplo 6
Monto en el fondo de ahorro para el retiro
¿Qué cantidad, sin contar intereses ni...