Programación lineal

UNIDAD 01

Introducción a la Programación Lineal

1.1 Modelo de Programación Lineal con dos variables
Ejemplo: (La compañía Reddy Mikks)
Reddy Mikks produce pinturas para interiores y exteriores, M1 y M2. La tabla
siguiente proporciona los datos básicos del problema
Producto

Pinturas para

Pinturas para

Disponibilidad

exteriores

interiores

diaria máxima

Componente(toneladas)

Materia prima, M1

6

4

24

Materia prima, M2

1

2

6

Utilidad por toneladas

5

4

(miles de $)

Una encuesta de mercado indica que: la demanda diaria de pintura para
interiores no puede ser mayor que 1 tonelada más que la pintura para exteriores.
También, que la demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2
toneladas.
Reddy desea determinarla mezcla óptima (la mejor) de productos para
exteriores y para interiores que maximice la utilidad diaria total.

El modelo de programación lineal, como en cualquier modelo de
investigación de operaciones, tiene tres componentes básicos:
• Las variables de decisión que se trata de determinar
• El objetivo (la meta) que se trata de optimizar
• Las restricciones que se deben satisfacerDefinimos las variables:
x1=toneladas producidas diariamente, de pintura para exteriores
x2=toneladas producidas diariamente, de pintura para interiores
Para formar la función objetivo, la empresa desea aumentar sus utilidades
todo lo posible. Si Z representa la utilidad diaria total (en miles de dólares), el
objetivo de la empresa se expresa así:
Maximizar Z=5x1+4x2
A continuación se definenlas restricciones que limitan el uso de las
materias primas y la demanda:
(uso de la materia prima para ambas pinturas)=(disponibilidad máxima
de materia prima)
Según los datos del problema:
Uso de la materia prima M1, por día = 6x1+4x2 toneladas
Uso de la materia prima M2, por día = 1x1+2x2 toneladas
Ya que la disponibilidad de las materias primas M1 y M2 se limita a 24 y 6
toneladas,respectivamente, las restricciones correspondientes se expresan:
6x1+4x2≤24

(materia prima M1)

x1+2x2≤6

(materia prima M2)

La primera restricción de la demanda indica que la diferencia entre la
producción diaria de pinturas para interiores y exteriores, x2-x1, no debe ser
mayor que 1 tonelada, y eso se traduce en: x2-x1≤1. La segunda restricción de
la demanda estipula que la demandamáxima diaria de pintura para interiores
se limita a 2 toneladas, y eso se traduce como: x2≤2.
Una restricción implícita (o “que se sobreentiende”) es que las variables x1 y
x2 no pueden asumir valores negativos. Las restricciones de no
negatividad:

x1≥0

y

x2≥0.

El modelo de Reddy Mikks completo es:

Maximizar:

Z = 5x1 + 4 x2

Sujeto a:

6 x1 + 4 x2 ≤ 24
x1 + 2 x2 ≤ 6
−x1 + x2 ≤ 1
x2 ≤ 2
x1 , x2 ≥ 0

EJEMPLOS INICIALES DE PROGRAMACION LINEAL
1.

Una firma industrial elabora dos productos, en las cuales entran cuatro
componentes en cada uno. Hay una determinada disponibilidad de cada
componente y un beneficio por cada producto. Se desea hallar la cantidad de
cada artículo que deba fabricarse, con el fin de maximizar los beneficios. El
siguientecuadro resume los coeficientes de transformación. O sea la cantidad
de cada componente que entra en cada producto.
Producto

P
1

P2

Componente

Disponibilidad
(kilogramos)

A

1

3

15 000

B

2

1

10 000

C

2

2

12 000

D

1

1

10 000

Beneficios

4

3

US$Unidad
Solución

x1 = Nº de Unidades de Producto

P
1

x2 = Nº de Unidades deProducto

P2

Dado que x1 y x2 pueden tomar distintos valores reciben el nombre de
"variables".
Analizando ahora el componente A del cuadro de coeficientes de
transformación se tiene:
Si en una unidad del Producto P1 entra 1 Kg. Del componente A, en x1
unidades de P2 entrarán.

[1]

⎛ Kg de componente ⎞
⎜
⎜ 1Unidad de P ⎟ x1
⎟
⎝
⎠
1

(Unidades de P1 )

y para el producto P2...