Programación No Lineal
Páginas: 9 (2227 palabras)
Publicado: 17 de junio de 2012
INTRODUCCIÓN
Desde sus inicios la investigación de operaciones ha sido una ciencia gerencial que se centra principalmente en la toma de decisiones, y que utiliza métodos científicos (matemáticos) para resolver problemas. Esta toma de decisiones permite maximizar ganancias o reducir costos, dependiendo del problema planteado.
Para la solución de problemas de investigación de operaciones, sehan estipulado dos (2) tipos de programación que permiten resolverlos, estos 2 tipos de programación son: programación lineal, y programación no lineal.
La programación lineal, trata, como su nombre se refiere, a problemas en donde una función objetivo a optimizar es de tipo lineal, y de igual forma, las restricciones encontradas en el problema son del mismo tipo (lineales). En cambio, laprogramación no lineal se refiere a la resolución de problemas en donde la función objetivo a optimizar no cumple con principios de linealidad, es decir, es no lineal, y todas o algunas de sus restricciones también son no lineales.
El siguiente trabajo, tiene como finalidad dar a conocer la programación no lineal, y sus variados algoritmos de resolución de problemas, así como los métodosincluidos en cada tipo de algoritmo con su debida definición.
PROGRAMACIÓN NO LINEAL
En la investigación de operaciones se busca como objetivo optimizar una función, ya sea maximizándola o minimizándola, de acuerdo con una serie de restricciones planteadas. Una técnica de la investigación de operaciones es la programación no lineal, la cual se caracteriza porque el problema o la función a optimizarson de tipo “no lineal” o incluso algunas de sus restricciones no cumplen con las características o condiciones propias de linealidad. Este tipo de programación no lineal puede tener una estructura muy variada dependiendo de las funciones que intervengan en el problema, de igual forma tiene una mayor dificultad en la obtención de resultados y en la obtención numérica de las soluciones.
Unproblema general de programación no lineal consiste en encontrar los valores de ciertas variables que maximizan o minimizan una función dada, dentro de un conjunto definido por una serie de restricciones de desigualdad, de forma que no hay aseguradas condiciones de linealidad ni sobre la función a optimizar ni sobre las funciones que definen el conjunto dentro del cual buscamos dicho óptimo. Es decir,el problema consiste en:
Maximizar f(x)Sujeta a:gx≤b
Donde:
• x = (x1, x2, …, xn) es la variable instrumental o de decisión.
• f es la función objetivo, es decir, aquella que se desea optimizar (en este caso, maximizar), y D su dominio.
• g una función vectorial g = (g1, g2, …, gm) compuesta por las funciones de restricción.
• b es el vector de términos independientes, o recursos. Cadaexpresión gi(x) ≤ bi determina una restricción sobre las variables instrumentales.
ALGORITMOS DE PROGRAMACIÓN NO LINEAL
1. Algoritmos sin restricciones.
Existen dos métodos de algoritmos para los problemas sin restricciones:
1.1 Método de búsqueda directa o búsqueda dicotómica
Este método localiza el óptimo mediante una búsqueda directa en una región específica. Se aplicanprincipalmente a funciones de una sola variable. Para trabajar con este método primero, identificamos el intervalo de incertidumbre que se conoce porque incluye el óptimo a identificar. El tamaño del intervalo se reduce sistemáticamente hasta que se encuentra el óptimo. En este procedimiento, la longitud del intervalo que incluye el óptimo se puede hacer tan pequeño como se desee.
Este método buscamaximizar una función estrictamente unimodal, f(x), sobre el intervalo a ≤ x ≤ b. Se deben definir dos puntos x₁ y x₂ simétricamente con respecto a a y b de modo que los intervalos a ≤ x ≤ x₂ y x₁ ≤ x ≤ b se superpongan en una cantidad finita ∆. Luego se debe evaluar f(x₁) y f(x₂), y se tendrán como resultado 3 casos:
a) Si f(x₁) > f(x₂), x* (óptima x) debe quedar entre a y x₂.
b) Si f(x₁)...
Desde sus inicios la investigación de operaciones ha sido una ciencia gerencial que se centra principalmente en la toma de decisiones, y que utiliza métodos científicos (matemáticos) para resolver problemas. Esta toma de decisiones permite maximizar ganancias o reducir costos, dependiendo del problema planteado.
Para la solución de problemas de investigación de operaciones, sehan estipulado dos (2) tipos de programación que permiten resolverlos, estos 2 tipos de programación son: programación lineal, y programación no lineal.
La programación lineal, trata, como su nombre se refiere, a problemas en donde una función objetivo a optimizar es de tipo lineal, y de igual forma, las restricciones encontradas en el problema son del mismo tipo (lineales). En cambio, laprogramación no lineal se refiere a la resolución de problemas en donde la función objetivo a optimizar no cumple con principios de linealidad, es decir, es no lineal, y todas o algunas de sus restricciones también son no lineales.
El siguiente trabajo, tiene como finalidad dar a conocer la programación no lineal, y sus variados algoritmos de resolución de problemas, así como los métodosincluidos en cada tipo de algoritmo con su debida definición.
PROGRAMACIÓN NO LINEAL
En la investigación de operaciones se busca como objetivo optimizar una función, ya sea maximizándola o minimizándola, de acuerdo con una serie de restricciones planteadas. Una técnica de la investigación de operaciones es la programación no lineal, la cual se caracteriza porque el problema o la función a optimizarson de tipo “no lineal” o incluso algunas de sus restricciones no cumplen con las características o condiciones propias de linealidad. Este tipo de programación no lineal puede tener una estructura muy variada dependiendo de las funciones que intervengan en el problema, de igual forma tiene una mayor dificultad en la obtención de resultados y en la obtención numérica de las soluciones.
Unproblema general de programación no lineal consiste en encontrar los valores de ciertas variables que maximizan o minimizan una función dada, dentro de un conjunto definido por una serie de restricciones de desigualdad, de forma que no hay aseguradas condiciones de linealidad ni sobre la función a optimizar ni sobre las funciones que definen el conjunto dentro del cual buscamos dicho óptimo. Es decir,el problema consiste en:
Maximizar f(x)Sujeta a:gx≤b
Donde:
• x = (x1, x2, …, xn) es la variable instrumental o de decisión.
• f es la función objetivo, es decir, aquella que se desea optimizar (en este caso, maximizar), y D su dominio.
• g una función vectorial g = (g1, g2, …, gm) compuesta por las funciones de restricción.
• b es el vector de términos independientes, o recursos. Cadaexpresión gi(x) ≤ bi determina una restricción sobre las variables instrumentales.
ALGORITMOS DE PROGRAMACIÓN NO LINEAL
1. Algoritmos sin restricciones.
Existen dos métodos de algoritmos para los problemas sin restricciones:
1.1 Método de búsqueda directa o búsqueda dicotómica
Este método localiza el óptimo mediante una búsqueda directa en una región específica. Se aplicanprincipalmente a funciones de una sola variable. Para trabajar con este método primero, identificamos el intervalo de incertidumbre que se conoce porque incluye el óptimo a identificar. El tamaño del intervalo se reduce sistemáticamente hasta que se encuentra el óptimo. En este procedimiento, la longitud del intervalo que incluye el óptimo se puede hacer tan pequeño como se desee.
Este método buscamaximizar una función estrictamente unimodal, f(x), sobre el intervalo a ≤ x ≤ b. Se deben definir dos puntos x₁ y x₂ simétricamente con respecto a a y b de modo que los intervalos a ≤ x ≤ x₂ y x₁ ≤ x ≤ b se superpongan en una cantidad finita ∆. Luego se debe evaluar f(x₁) y f(x₂), y se tendrán como resultado 3 casos:
a) Si f(x₁) > f(x₂), x* (óptima x) debe quedar entre a y x₂.
b) Si f(x₁)...
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