Programacion lineal

Introducción

Objetivo: Hacer un acercamiento al concepto de programación lineal, y plantear ejemplos que permitan esclarecer la definición y aplicación que se le otorga a la programación lineal.
Cuando tenemos un determinado problema que incluye más de una variable en muchas ocasiones es necesario optimizar el proceso para hacerlo más fácil o más rápido. En estos casos es necesario utilizarla programación lineal.
Por ejemplo: Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 50 pesos por cada folleto y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 70 pesos por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz derepartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su ganancia diaria sea máximo?
Este problema se puede resolver mediante programación lineal y es bastante útil ya que permite optar por la opción más beneficiosa para la persona.
Para poder comprender como resolver este problema está el presente trabajo.Programación lineal.
Definición.
La Programación Lineal es una de las principales ramas de la Investigación Operativa. En esta categoría se consideran todos aquellos modelos de optimización donde las funciones que lo componen, es decir, función objetivo y restricciones, son funciones lineales en las variables de decisión.
Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente usadospara abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización.
Partes.
Función objetivo
En esencia la programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables:
f(x,y) = ax + by.Restricciones
La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales:
| a1x + b1y ≤ c1 |
| a2x + b2y ≤c2 |
| ...    ...    ... |
| anx + bny ≤cn |
Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.
Solución factible
El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto,acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles.
Solución óptima
El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso).
Valor del programa lineal
El valor que toma la función objetivo en el vértice de soluciónóptima se llama valor del programa lineal.
Ejercicios resueltos.
1) Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 pesos cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de montaña 2 kgs. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo yde montaña venderá?
Sean las variables de decisión:
x= n: de bicicletas de paseo vendidas.
y= n: de bicicletas de montaña vendidas.
Tabla de material empleado:
  | Acero | Aluminio |
Paseo | 1 | 3 |
Montaña | 2 | 2 |
Función objetivo:
f(x, y)= 20.000x+15.000y      máxima.
Restricciones:

Zona de soluciones factibles:
Vértices del recinto (soluciones básicas):
A(0, 40)
Bintersección de r y s:

C(40,0)
Valores de la función objetivo en los vértices:

Ha de vender 20 bicicletas de paseo y 30 de montaña para obtener un beneficio máximo de 850.000 pesos.

2) A una persona le tocan 10 millones de pesos en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B...