programación no lineal

PROGRAMACION NO LINEAL
La programación no lineal, es cuando los objetos de estudio como f(x) son funciones no lineales, es decir que la programación no lineal utiliza métodos para optimizar una función objetivo, la cual se encuentra restringida por una o mas variables, las cuales son no lineales.
Como punto de comparación tenemos a la programación lineal, la cual analiza los casos en que f(x)es una función lineal, es decir una función cuyo dominio son todos los números reales y codominio de la misma manera formado por todos los números reales y cuya expresión analítica es una función de primer grado. Como dato extra, el método simplex permite resolver problemas de gran tamaño, con miles de variables así como con miles de restricciones; esto para programación lineal.
En la mayoría delos métodos de programación no lineal, se utiliza el concepto de gradiente de las funciones analizadas para encontrar la mejora de la función objetivo.
En una problemática no lineal con restricciones puede convertirse en un problema sin restricciones, con la ayuda del multiplicador de Lagrange: este método consiste en introducir en la función objetivo variables de holgura y un coste que aumentacuando disminuye la desviación (es decir, restricción saturada, la cual consiste en que cuando el óptimo se verifica en forma de igualdad).

Diferencias entre programación lineal y programación no lineal.
Programación lineal
Programación no lineal
La solución óptima se encuentra en un punto extremo de la región de factibilidad
No siempre la solución óptima se encuentra en el punto extremo dela región de factibilidad
El punto óptimo nunca está dentro de la región de factibilidad
Hay casos en los que el punto óptimo está en el interior de la región factible
Sus métodos de optimización generan óptimos absolutos o globales
Generalmente se encuentra un óptimo local o relativo, mas no el óptimo global o absoluto
La región de factibilidad es un conjunto convexo
Se pueden generarregiones de factibilidad que no son necesariamente convexas
Sus funciones objetivo y restricciones son lineales
Las funciones objetivo, las restricciones o ambas, pueden ser no lineales

A continuación un ejemplo de un problema, resuelto con programación no lineal:
Un joven ingeniero de una compañía a ha sintetizado un nuevo fertilizante hecho a partir de dos materias primas. Al combinarcantidades de las materias primas básicas x y y, la cantidad de fertilizante que se obtiene viene dada por Q = 4x +2y – 0.5x2-0.25y2. Se requieren 480 euros por unidad de materia prima 1 y 300 euros por cada unidad de materia prima 2 que se empleen en la fabricación del fertilizante (en estas cantidades se incluyen los costos de las materias primas y los costos de producción). Si la compañía dispone de24000 euros para la producción de materias primas, plantear el problema para determinar la cantidad de materia prima de forma que se maximice la cantidad de fertilizante. Las variables de decisión del problema son:
x : cantidad de materia prima 1
y : cantidad de materia prima 2

El objetivo es maximizar la cantidad de fertilizante, Q(x,y)= 4x +2y – 0.5x2-0.25y2 Restricciones del problema:
- Elcoste no puede exceder el presupuesto que la empresa tiene asignado para el fertilizante, 480x + 300y ≤ 24000
- No negatividad de las cantidades: x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 Por tanto
Max Q(x,y)= 4x +2y – 0.5x2-0.25y2
S.a. 480x1 + 300x2 ≤ 24000
x ≥ 0, y ≥ 0

Condiciones de optimalidad y dualidad LAGRANGIANA
Conjuntos convexos. Un conjunto X en En se llama conjunto convexo si dadosdos puntos x1 y x2 en x entonces λx1 +(1-λ)x2 pertenece al conjunto X para cada λϵ[0,1].
La convexidad de X se puede interpretar geométricamente, si para cada par de puntos x1 y x2 en X, el segmento de recta que los une, debe pertenecer a X.






Funciones convexas y cóncavas
Sea X un convexo no vacío en En, la función f(x) es una función convexa si para cada x1 x2 ϵ X y para cada...