Progresión Aritmética

Progresión aritmética

En matemáticas, una progresión aritmética es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada «diferencia de la progresión», «diferencia» o incluso «distancia».
Por ejemplo, la sucesión matemática: 3, 5, 7, 9… es una progresión aritmética de cuadro constante 2. Así como: 5 ; 2 ; −1 ;−4 es una progresión aritmética de constante «−3».
Índice
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1 Término general de una progresión aritmética
2 Interpolación de términos restantes
3 Suma de términos de una progresión aritmética
3.1 Suma de los dos términos extremos, y suma de los términos equidistantes de aquéllos
3.2 El término central de una progresión aritmética
3.3 Suma de todos los términos de una progresiónaritmética
4 Progresión aritmética de segundo grado
4.1 Definición
5 Citas y referencias
6 Véase también
7 Referencias
8 Enlaces externos
Término general de una progresión aritmética[editar]
El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término restándole la diferencia al término siguiente. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquierade sustérminos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión. La fórmula del término general de una progresión aritmética es:

Donde d es un número real llamado diferencia. Si el término inicial de una progresión aritmética es  y la diferencia común es , entonces el término -ésimo de la sucesión viene dada por
,    n = 0, 1, 2,... si el término inicial se toma como el cero.
    n =1, 2, 3,... si el término inicial se toma como el primero.
La primera opción ofrece una fórmula más sencilla, ya que es común en el lenguaje el uso de "cero" como ordinal. Generalizando, sea la progresión aritmética:
 de diferencia 
tenemos que:



...


sumando miembro a miembro todas esas igualdades, y simplificando términos semejantes, obtenemos:
(I)
expresión del término general de laprogresión, conocidos su primer término y la diferencia. Pero también podemos escribir el término general de otra forma. Para ello consideremos los términos  y  () de la progresión anterior y pongámolos en función de :


Restando ambas igualdades, y trasponiendo, obtenemos:
(II)
expresión más general que (I) pues nos da los términos de la progresión conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia.Dependiendo de que la diferencia  de una progresión aritmética sea positiva, nula o negativa, tendremos:
d>0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior.
Ejemplo: 3, 6, 9, 12, 15, 18... ()
d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales.
Ejemplo: 2, 2, 2, 2, 2... ()
d<0: progresión decreciente. Cada término es menor que el anterior.
Ejemplo: 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7... ()Interpolación de términos restantes[editar]
Interpolar k términos diferenciales entre dos números  y  dados, es formar una progresión aritmética de términos, siendo  el primero y  el último. El problema consiste en encontrar la diferencia  de la progresión.
Apliquemos (II), , teniendo en cuenta que , ,  y :


de dónde, si despejamos d:
(III)
Por ejemplo, queremos interpolar 3 términos diferencialesentre 2 y 14. Calculamos la diferencia de la progresión según (III) haciendo a = 2, b = 14, k = 3


Los términos a interpolar serán , , y .
Ahora ya tenemos la progresión aritmética pedida:
2, 5, 8, 11, 14
Suma de términos de una progresión aritmética[editar]
Consideraremos en primer lugar algunas propiedades de la suma de términos de una progresión aritmética. En particular nos fijaremos en lasuma de los dos términos extremos, el primero y el último, así como en la suma de aquellos cuyos lugares sean equidistantes de los extremos de la progresión. Seguidamente estudiaremos el término central de una progresión aritmética con un número impar de términos. Finalmente se generalizará a todos los términos de la progresión.
Suma de los dos términos extremos, y suma de los términos...