Progresiones aritmeticas

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Progresión Aritmética

Es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al interior mas un numero fijo llamado diferencia que se representa por la letra (d).

También se puede decir que El término de la sucesión se le llama al conjunto ordenado de infinito números reales ejemplo (a1, a2, a3, a4).

El término general de una progresión aritméticaes aquel en el que se obtiene cualquier término sumándole la diferencia al término anterior. Una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión.

Por lo tanto el término general se le llama al conjunto ordenados de números impares (3, 5, 7, 9, 11)


Sus formulas son:
d = an - an-1
Término general deuna progresión aritmética
an = a1 + (n - 1) • d
an = ak + (n - k) • d
Suma de términos equidistantes
ai + aj = a1 + an

a3 + an-2 = a2 + an-1 = a1 + an
Suma de n términos consecutivos


• Ejemplo:
Si los números: 7, 15, 23, 55 forman una progresión aritmética. Calcule el quinto término de ella.
Solución:
d = 15 – 7 = 8
a 5 = 7 + ( 5 – 1 ) ×8 = 39
• Ejemplo: Si el segundo, quinto y décimo término de una progresión aritmética son respectivamente: 3, 9 y 19. Calcule su séptimo término.
Solución:
a 7 + a 5 = a 2 + a 10
a 7 + 9 = 3 + 19
a 7 = 22 – 9 =




A esta forma se le conoce como Forma Recursiva, donde:
: Primer término de la progresión aritmética.
n: numero de término de la progresión aritmética.
d : diferencia aritmética de la progresión aritmética.


La diferencia de una P.A. Puede ser positiva, negativa o cero.
Si entonces P.A. es decreciente.
Si entonces P.A. es creciente.
Si entonces P.A. es constante.

Ejemplo:

: IN IR; donde = . Los primero términos de esta sucesión son: {5, , , ,4,}. Como se puede observar, esta expresión es una sucesión, por esto cumple la CN1, ahora calculemos la diferencia entre sus términos:
= 5 - = -
= - = -

Y si realizamos este procedimiento sucesivamente podremos observar que la diferencia entre los términos consecutivos en una constantereal igual a por lo que cumple la CN2. Por lo tanto es una P.A.

El conjunto {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,..., 2n-1} Es una sucesión real, la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante, en este caso d = 2. Por lo tanto es una P. A.

El conjunto {1, 4, 16, 64, 256,...,4∙(n-1)}, es una sucesión real por lo que cumple la CN1, ahora calculemos la diferencia entre sustérminos:

= 4 - 1 = 3
= 16 - 4 = 12

Como podemos observar esta diferencia no es la misma, por lo tanto, no es una P.A.

: IN IR; donde = 1 + , no satisface la CN1, por no ser función real, por lo que no es una sucesión. Por lo tanto, no es una P.A.

Otro concepto básico de las progresiones aritméticas son:

Un subconjunto de las Sucesiones. Por esto podemos mencionar unapequeña analogía, ya que prácticamente son lo mismo, excepto porque las Progresiones Aritméticas son el subconjunto de Sucesiones en que la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante real.

Las Progresiones Aritméticas también tienen subconjuntos, que son:

Progresión Aritmética Creciente
Progresión Aritmética Decreciente
















ProgresionesGeométricas



Una progresión geométrica esta constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón, o factor de la progresión, en este caso es representada por la letra (r).

Sus formulas son:

Término general de una progresión geométrica
an = a1 • rn-1
an = ak • rn-k
Interpolación de...
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