Progresiones Aritmeticas

Progresiones Aritm´eticas

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Progresiones Aritm´eticas
Un tipo particular de sucesi´on son la que se denominan progresiones; las m´as conocidas son las aritm´eticas
y las geom´etricas, pero hay otras. Aqu´ı estudiaremos las Progresiones Aritm´eticas. Vamos la definici´on.

Definici´on

Se dice que una serie de n´umeros est´an en progresi´on aritm´etica cuando cada uno de los
ellos es igual alanterior m´as una cantidad constante llamada raz´on o diferencia de la progresi´on.
As´ı, las siguientes dos sucesiones constituyen progresiones aritm´eticas:
3, 7, 11, 15,......
8, 2, -4, -10,.....
y la sucesi´on que sigue no es una progresi´on aritm´etica:
1, 2, 4, 8,......
La diferencia d se obtiene restando cualquier t´ermino de la progresi´on del t´ermino que le sigue. As´ı, en el
primerejemplo d = 4, esto porque; 7-3, o 11-7, o 15-11, son iguales a 4. En general la raz´on o diferencia
se obtiene con la f´ormula:

d = ak+1 − ak
Nota 1

Si vemos la progresi´on aritm´etica
a1 , a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, a1 + 4d, ......

notamos que en cualquier t´ermino el coeficiente de la diferencia d es siempre una unidad menor que el
n´umero de orden del t´ermino de la sucesi´on. Veamos:
el 3ert´ermino es a1 + 2d;
el 6to t´ermino es a1 + 5d;
el 10mo t´ermino es a1 + 9d;
el 25vo t´ermino es a1 + 24d;
y en general;

an = a1 + (n − 1)d
Est´a u´ ltima f´ormula se usa para hallar el t´ermino n-´esimo que queramos.

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Profesor Waldo M´arquez Gonz´alez

Progresiones Aritm´eticas

Ejemplo 1

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Demostrar que la sucesi´on
1, 4, 7, 10, · · · , 3n − 2, · · ·

es una progresi´onaritm´etica encontrando la raz´on o diferencia.
Soluci´on:
Es obvio que la diferencia es 3. Veamos la demostraci´on formal:
ak+1 − ak = [(3(k + 1) − 2] − [3k − 2])
ak+1 − ak = 3k + 3 − 2 − 3k + 2 = 3
Ejemplo 2

Hallar el sexto, octavo y d´ecimoquinto t´ermino de la sucesi´on aritm´etica cuyos tres primeros
t´erminos son 4, 7, 10,...
Soluci´on:
La diferencia comun es 3. Al buscar el sexto t´ermino a6 ,usamos la f´ormula a6 = a1 + 5d,

a6 = 4 + 5 · 3 = 19
As´ı, a6 = 19.
Calculando a mano y haciendo la lista de los t´erminos de la progresi´on aritm´etica, obtenemos: 4, 7, 10, 13,
16, 19, 22, 25, 28,...
Ahora el 8vo t´ermino.
a8 = a1 + 7 · d = 4 + 7 · 3 = 25
y finalmente a15 ;
a15 = a1 + 14 · d = 4 + 14 · 3 = 46, as´ı
a15 = 46.
Ejemplo 3

Si el cuarto t´ermino de una progresi´on aritm´etica es 5 yel noveno t´ermino es 20, obtener el
doceavo t´ermino.
Soluci´on:
Sustituimos n = 4 y n = 9 en la f´ormula a4 = a1 + 3d y a9 = a1 + 8d.
Y como a4 = 5 y a9 = 20 obtenemos el siguiente sistemas 2x2.

5 = a1 + 3d
20 = a1 + 8d

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3

Este sistema tiene como soluci´on u´ nica d = 3 y a1 = −4, de aqu´ı es f´acil obtener a12 .
a12 = a1 + 11 · d = −4 + 11 · 3 = 29.
Ejemplo 4Hallar el 38vo t´ermino de la progresi´on aritm´etica: 23 , 32 , 73 , ....

Soluci´on:
Aqu´ı a1 =

2
3

yd=

a38 = a1 + 37 · d =

3
2

−
2
3

2
3

= 56 , luego

+ 37 ·

5
6

a38 = 31 12 .

Ejercicios

Parte I Hallar el,
1. 9no t´ermino de la P.A.: 7, 10, 13,...

14. 19vo t´ermino de la P.A. : 31 , 78 , ...

2. 12vo t´ermino de la P.A.: 5, 10, 15,...

15. 27vo t´ermino de la P.A.: 3 21 , 5 41 , ...

3.48vo t´ermino de la P.A.: 9, 12, 15,...

16. 36vo t´ermino de la P.A.: 79 , 31 , ...

4. 63vo t´ermino de la P.A.: 3, 10, 17,...
vo

t´ermino de la P.A.: 11, 6, 1,...

vo

t´ermino de la P.A.: 19, 12, 5,...

vo

t´ermino de la P.A.: 3, -1, -5,...

5. 12
6. 28
7. 13

8. 54vo t´ermino de la P.A.: 8, 0, -8,...
9. 31vo t´ermino de la P.A.: -7, -3, 1,...

17. 15vo t´ermino de la P.A.: 27 , 81 , ...
18.21vo t´ermino de la P.A.:
19. 13vo t´ermino de la P.A.:
20. 19vo t´ermino de la P.A.:
21. 33vo t´ermino de la P.A.:

10. 17vo t´ermino de la P.A.: -8, 2, 12,...

22. 41vo t´ermino de la P.A.:

11. 12vo t´ermino de la P.A. : 12 , 43 , 1, ...

23. 26vo t´ermino de la P.A.:

12. 17vo t´ermino de la P.A.: 23 , 65 , 1, ...

24. 19vo t´ermino de la P.A.:

11
13. 25vo t´ermino de la P.A.: 38 , 24
,...