Progresiones Geometricas

Progesiones geométricas

Una sucesión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constantedenominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finitade términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, sibien, esta distinción no es estricta.

Así, [pic] es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:

15 = 5 × 3
45 = 15 × 3
135 = 45 × 3
405 = 135 × 3y así sucesivamente.

Aunque es más fácil aplicando la fórmula:

[pic]

Siendo [pic] el término en cuestión, [pic] el primer términoy [pic] la razón:

[pic]

Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión

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[pic][pic]
Serie geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... converge a 2.
Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica
Se denomina como Sn a la suma de n términos consecutivos de unaprogresión geométrica:

Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an
Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón dela progresión r.

[pic]
Si se tiene en cuenta que al multiplicar un término de una progresión geométrica por la razón se obtiene el término siguiente de esa progresión,Snr = a2 + a3 + ... + an + anr

Si se procede a restar de esta igualdad la primera:

Sn r =a2+a3+ ... + an-1 + an + an r
Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an_______________________________
Sn r - Sn = - a1 + an r
o lo que es lo mismo,

Sn ( r - 1 ) = an r - a1
Si se despeja Sn,

[pic]...