Progresiones Sem2de2010 7

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
MATEMATICAS 3 CB0218
Notas de Clase

Progresiones aritméticas y geométricas.
Una progresión aritmética es una sucesión de números reales donde cada término distinto del primero
se genera sumando una constante d al anterior. La constante d es llamada diferencia de la progresión
aritmética; por ejemplo la sucesión
2, 7, 12, 17, 22, 27, 32
es una progresiónaritmética de 7 términos (n = 7), con primer término a = 2 y diferencia d = 5.
Una progresión aritmética de n términos, con primer término a y diferencia d, es de la forma
a1 =
a
a2 =
a1 + d = a + d
a3 = a2 + d = a + 2d
a4 = a3 + d = a + 3d
.
.
.
.
.
.
an−1 =
a + (n − 2)d
an =
a + (n − 1)d.
Se observa que el n-ésimo término de una progresión aritmética de primer término a y diferencia d es
an = a + (n −1)d.

(1)

Determinemos una expresión para la suma (Sn ) de los primeros n términos de una progresión aritmética
con primer término a y diferencia d.
Sn =
a
+
a+d
+ ... + a + (n − 2)d + a + (n − 1)d
Sn = a + (n − 1)d + a + (n − 2)d + ... +
a+d
+
a
Al sumar término a término las dos ecuaciones anteriores, se tiene
2Sn = [2a + (n − 1)d] + [2a + (n − 1)d] + ... + [2a + (n − 1)d] + [2a + (n − 1)d] ,ahora, como en el lado derecho aparecen n términos iguales a [2a + (n − 1)d], entonces
2Sn = n [2a + (n − 1)d], es decir,

n
[2a + (n − 1)d]
2
Además, como el último término de la progresión es an = a + (n − 1)d, entonces
Sn = n2 [2a + (n − 1)d] = n2 [a + {a + (n − 1)d}] = n2 [a + an ], es decir,
Sn =

Sn =

n
[a + an ].
2

(2)

Ejemplos.
1. Consideremos la progresión: 4, 7, 10, 13, 16, ....Determinar el término número 22 y la suma de los
primeros 22 términos de la progresión.
Solución. Dicha expresión corresponde a una progresión aritmética de primer término a = 4 y diferencia d = 3, entonces al aplicar la fórmula (1) se tiene que a22 = 4 + (22 − 1)(3) = 67. La suma de los
primeros 22 términos según la fórmula (2), es S22 = 22
2 [4 + 67] = 281
2. La suma de los primeros 20 términos de unaprogresión aritmética es 860; si el vigésimo término es 81,
determine el primer término.
Solución. Reemplazando en la fórmula Sn =
10[a + 81], 86 = a + 81, y se tiene que a = 5.

n
2

[a + an ] se tiene 860 =

20
2

[a + 81]. Por tanto 860 =

3. La ventas de una compañía ascendieron a 20 000 000 pesos el primer mes y en cada uno de los meses
siguientes aumentaron sus ventas en 300 000 pesos conrelación al mes anterior. Determine las ventas
en el mes número 21 y las ventas durante los primeros 21 meses.
Solución. El problema corresponde a una progresión aritmética de primer término a = 20 000 000,
n = 21 y d = 300 000. Aplicando la fórmula (1), se tiene
a21 = (20 000 000) + (20)(300 000) = 26 000 000
S21 =

21
[20 000 000 + 26 000 000] = 483 000 000
2

Una progresión geométrica es unasucesión de números reales donde cada término distinto del primero
se genera multiplicando por una constante r al anterior. La constante r es llamada razón de la progresión
geométrica; por ejemplo la sucesión
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192
es una progresión geométrica de 7 términos (n = 7), con primer término a = 3 y razón r = 2.
Una progresión geométrica de n términos, con primer término a y razón r, es dela forma
a1 =
a
a2 =
a1 r = ar
a3 = a2 r = ar2
a4 = a3 r = ar3
.
.
.
.
.
.
n−2
an−1 =
ar
an =
arn−1 .
Se observa que el n-ésimo término de una progresión aritmética de primer término a y razón r es
an = arn−1 .

(3)

Determinemos una expresión para la suma (Sn ) de los primeros n términos de una progresión geométrica
con primer término a y razón r.
Sn = a + ar + ar2 + ... + arn−3 + arn−2 + arn−1(A)
Al multiplicar por r cada uno de los términos de la igualdad anterior se tiene
rSn = ar + ar2 + ar3 + ... + arn−2 + arn−1 + arn (B)
Al restar término a término de la ecuación (A) la ecuación (B), se cancelan varios términos y se tiene
Sn − rSn = a − arn , es decir, Sn (1 − r) = a(1 − rn ). Por tanto para el caso r = 1,

Sn =

a(1 − rn )
.
1−r

(4)

Para el caso r = 1,
Sn = a + a + a + ......