Prope05%20cap2%20sistemas%20lineales%20parte%203

2.15 Introducción a las transformaciones lineales
Representación matricial  a11   a21  M   am1 a12 a22 am 2 K a1n   x1   b1      K a2 n   x2   b2  =  M  M      L amn  xn   bn  r Ax = b

Representacion vectorial  a1n   b1   a11   a12          a21  a22  a2 n   b2  x1  + x2  + K + xn  = M  M  M  M          am1  am 2 amn   bm     r r r r x1a1 + x2 a2 + K + xn an = b

LA IDEA DE TRANSFORMACION Matriz A “actua” sobre vector x para producir un nuevo vector Ax

©Dr. Arturo Sánchez Carmona

x
1   4 −3 1 3  1  5      =    2 0 5 1 1  8    1
multiplicación por A

Ejemplo
u
 1   4 −3 1 3   4   0      =    2 0 5 1  −1  0     3
Resolver Ax=b: Encontrartodos los vectores x ∈ ¡ 4 2 que se transformen en el vector b ∈ ¡ bajo la acción de multiplicar por A Función: Coorespondencia entre x y Ax

x 0 u
¡4
©Dr. Arturo Sánchez Carmona

b 0
¡2

Transformación
Transformación (mapeo, función) T : ¡ n → ¡ m ¡ n , dominio de T ¡ m , codominio de T T ( x) ∈ ¡ m es la imagen de x, para x ∈ ¡ n

El conjunto de todas las imágenes T ( x) ∈ ¡ m es elrango de T

T

x
¡n
Dominio
©Dr. Arturo Sánchez Carmona

T(x)
Rango

¡m

Codominio

Transformaciones Matriciales
r r r n Para cada x ∈ ¡ , T ( x) se calcula (está dada por la regla) A( x), donde A es una matriz m × n

Codominio de T es ¡ m . Matriz A con m renglones
Ejemplo

Dominio de T es ¡ n . Matriz A con n columnas

r r Sea transformación T : ¡ → ¡ , definida por laregla T ( x) = Ax donde
2 3

 1 −3   3  3 r   r  2 r     A =  3 5; y b =  2; u =  ; c =  2  −1  −1 7   −5   5      

Preguntas: 1. Encontrar T(u), la imagen de u bajo T 2. Encontrar una x cuya imagen bajo T sea b 3. Existe mas de una x cuya imagen bajo T sea b? 4. Determinar si c está en el rango de T
©Dr. Arturo Sánchez Carmona

1. Encontrar T(u), laimagen de u bajo T . Respuesta
 1 −3   5 r r   2    T (u ) = Au =  3 5    =  1  −1 7   −1  −9     

2. Encontrar una x cuya imagen bajo T sea b. Respuesta
 1 −3   3 r r   x1     T ( x) = Ax =  3 5    =  2   −1 7   x2   −5     
3   1 0 1.5   1 − 3 3   1 −3 3   1 −3         1 −0.5  :  0 1 −0.5   3 5 2  :  0 14 −7  :  0  −17 −5   0 4 −2   0 0 0 0 0 0        

r  1.5  r r Por lo tanto, para el vector x =   , la imagen de x bajo T es b −0.5  

3. Existe mas de una x cuya imagen bajo T sea b? Respuesta La ecuación que representa Ax=b, por inciso anterior, tiene solo una solución. Sólo un vector x cuya imagen es el vector b 4. Determinar si c está en el rango de T. Respuesta.
3   1 −3 3  1 0 1.5   1 −3 3   1 −3         1 2 :  0 1 2  3 5 2  :  0 14 −7  :  0  −1 7 5   0 4 8   0 14 −7   0 0 −35         

Ecuación 3 es degenerada. Por lo tanto el sistema es inconsistente y no tiene solución. Se concluye que vector c no está en el rango de T

©Dr. Arturo Sánchez Carmona

Otro Ejemplo
 1 0 0   Si A =  0 1 0  ,  0 0 0  

r rentonces la transformacion x a Ax proyecta puntos de ¡ 3 sobre el plano x1 x2
 x1   1 0 0  x1   x1         x2  a  0 1 0  x2  =  x2    x   0 0 0  x   0   3   3   

©Dr. Arturo Sánchez Carmona

Transformaciones lineales
•Teorema
r r Si A es una matriz m × n, u y v ∈ ¡ n y c ∈ ¡, entonces r r uu r r 1. A(u + v) = A(u ) + A(v) r uu r 2. A(cu ) = cA(u )•Definición: Una transformación T es lineal si y solo si
r r uu r r r r 1. T (u + v) = T (u ) + T (v) para todo u, v en el dominio de T r uu r r 2. T (cu ) = cT (u ) para todo u , c

•En otras palabras, las transformaciones lineales preservan las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar Toda transformación matricial es una transformación lineal
©Dr. Arturo Sánchez Carmona...