Propiedades de la distribuci n Gamma

Propiedades de la distribución Gamma
1. Su esperanza es pα.
 
2. Su varianza es pα2
 
3. La distribución Gamma (α, p = 1) es una distribución Exponencial de parámetro α. Es decir, el modelo Exponencial es un caso particular de la Gamma con p = 1.
 
4. Dadas dos variables aleatorias con distribución Gamma y parámetro α común 
 X ~ G(α, p1) y Y ~ G(α, p2)
se cumplirá que la suma también sigue unadistribución Gamma 
 X + Y ~ G(α, p1 + p2).
Una consecuencia inmediata de esta propiedad es que, si tenemos k variables aleatorias con distribución Exponencial de parámetro α (común) e independientes, la suma de todas ellas seguirá una distribución G(α, k).
http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo4/B0C4m1t7.htm

Función Gamma

Propiedades:

Distribución Gamma
Definición:Se dice que una variable continua X tiene una distribución gamma si la fdp de X es:


Ejemplo:

Ejemplo: Suponga que el tiempo, en horas, que toma reparar una bomba es una variable aleatoria x que tiene una distribución gamma con parámetros a = 2 y b = 1/2. ¿Cuál es la probabilidad de que en el siguiente servicio:
a) tome cuando mucho 1 hora reparar la bomba?

b) Al menos se requieren 2 horaspara reparar la bomba?


http://www.monografias.com/trabajos94/distribucion-gamma/distribucion-gamma.shtml



Distribución exponencial (Teoría)
Mientras que la distribución de Poisson describe las llegadas por unidad de tiempo, la distribución exponencial estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas. Si las llegadas son de Poisson el tiempo entre estas llegadas es exponencial. Mientras que ladistribución de Poisson es discreta la distribución exponencial es continua porque el tiempo entre llegadas no tiene que ser un número entero. Esta distribución se utiliza mucho para describir el tiempo entre eventos. Más específicamente la variable aleatoria que representa al tiempo necesario para servir a la llegada.
Ejemplos típicos de esta situación son el tiempo que un medico dedica a unaexploración, el tiempo de servir una medicina en una farmacia, o el tiempo de atender a una urgencia.
El uso de la distribución exponencial supone que los tiempos de servicio son aleatorios, es decir, que un tiempo de servicio determinado no depende de otro servicio realizado anteriormente ni de la posible cola que pueda estar formándose. Otra característica de este tipo de distribución es que notienen "edad" o en otras palabras, "memoria". Por ejemplo. Supongamos que el tiempo de atención de un paciente en una sala quirúrgica sigue una distribución exponencial. Si el paciente ya lleva 5 horas siendo operado, la probabilidad de que esté una hora más es la misma que si hubiera estado 2 horas, o 10 horas o las que sea. Esto es debido a que la distribución exponencial supone que los tiempos deservicio tienen una gran variabilidad. A lo mejor el próximo paciente operado tarda 1 hora porque su cirugía era mucho más simple que la anterior.
La función de densidad de la distribución exponencial es la siguiente:
Se dice que la variable aleatoria continua X tiene distribución exponencial con parámetro

Su gráfica es un modelo apropiado a vida útil de objetos.


Par calcular laesperanza matemática y la varianza, se hallara primero el momento de orden r respecto del origen:

CAPITULO II
Distribución exponencial (Práctica)
Ejemplos prácticos sobre la distribución exponencial:
EJEMPLO 1.-El tiempo durante el cual cierta marca de batería trabaja en forma efectiva hasta que falle (tiempo de falla) se distribuye según el modelo exponencial con un tiempo promedio de fallas igual a 360 días.a) ¿qué probabilidad hay que el tiempo de falla sea mayor que 400 días?.
b) Si una de estas baterías ha trabajado ya 400 días, ¿qué probabilidad hay que trabaja más de 200 días más?
c) Si se están usando 5 de tales baterías calcular la probabilidad de que más de dos de ellas continúen trabajando después de 360 días.
Solución
Sea X=el tiempo que trabaja la batería hasta que falle. El tiempo...