PropiedaDes De La Transformada z

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
Por medio de las propiedades básicas de la transformada Z podremos encontrar más pares de transformadas Z sin tener que calcularlas directamente usando ladefinición.
La propiedad de linealidad.
Como la transformada de La place, una propiedad fundamental de la transformada Z es su linealidad, expresada de la siguiente manera.
Si {xk} y {yk} son sucesiones quetienen transformadas z {xk} y {yk} respectivamente y si α y β son constantes reales o complejas, entonces:
Z{αxk+βyk }= αZ{xk}+βZ{yk}= αX(z)+βY(z)
La primera propiedad de traslación (retraso).
Estapropiedad denota la relación de una transformada Z con la transformada Z de la versión trasladad de la misma sucesión. En esta sección consideramos la versión de retardo de la sucesión {xk}, denotadapor {yk}, con
yk=xk-ko
Aquí k0 es el número de pasos de retardo; por ejemplo, si k0=2, entonces yk=xk-2, así que:
y0=x-2, y1=x-1, y2=x0, y3=x1

y asi sucesivamente. Asi la sucesión {yk} essimplemente la sucesión {xk} movida hacia atrás o retrasada, en dos pasos
Z {yk}=p=o∞ykzk = k=0∞xk-kozk = p=0∞p=-k0∞xpzp+k0
Donde hemos escrito p=k-k0. Si {xk} es una sucesión causal, de manera que xp=0(p<0), entonces
Z {yk} = p=0∞xpzp+k0= 1zk0 p=0∞xpzp= 1zk0 X (z)
Por lo tanto el resultado es:
Z {xk-ko}= 1zk0 Z{xk}
Que se conoce como la primera propiedad de traslación de la transformada Z.La segunda propiedad de traslación (avance).
En esta sección se busca una relación entre la transformada z de una versión adelantada de una sucesión y aquella de la sucesión original. Primeroconsideramos un adelanto de un solo paso. Si {yk} es la versión adelantada de un solo paso de la sucesión {xk} entonces {yk} esta generada por:
yk= xk+1 (k≥ 0)
Entonces
Z {yk}= k=0∞ykzk= k=0∞xk+1zk=zk=0∞xk+1zk+1
Y haciendo p=k+1 da
Z {yk}= zp=1∞xpzp= zp=0∞xpzp-x0=zXz-zx0
Donde X (z) es la transformada z de {xk}. Por lo tanto tenemos el resultado
Z {xk+1}= zX (z)—zx0
De manera similar se...