TEOREMAS Y PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z

TEOREMAS Y PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
Región de convergencia de las transformadas z racionales
La región de convergencia de la transformada z no puede contener ningún polo y está limitadapor los polos o por 0 o ¥. En el caso general de secuencias bilaterales, algunos de los polos contribuyen sólo para n ³ 0 y el resto sólo para n £ 0. Suponiendo una transformada que presenta trespolos (en z = a, b, c) en la figura se muestran las cuatro posibles elecciones para la región de convergencia. La primera corresponde a una secuencia hacia la derecha, la segunda a una secuencia hacia laizquierda, y las dos restantes a secuencias bilaterales.

Linealidad
Sean dos secuencias x[n] e y[n] con transformadas X(z) con e Y(z) con entonces: con donde la RC es al menos elsolapamiento de las regiones. Para secuencias con TZ racionales, si los polos de a×X(z) + b×Y(z) son la unión de los polos de X(z) e Y(z); la RC será exactamente igual al solapamiento de las regionesindividuales Þ Rz- = max(Rx-,Ry-) y Rz+ = min(Rx+,Ry+). Si la combinación lineal provoca que algunos ceros cancelen polos, entonces la RC puede ser más grande. Esto sucede, por ejemplo, cuando x[n]e y[n] son de duración infinita, pero su combinación lineal es de duración finita. La RC resultante es el plano Z entero con la posible excepción de 0 y/o ¥.
Corrimiento de la secuencia: Para lasecuencia cuyos valores son x[n+n0] se tiene. Las RC de x[n] y x[n+n0] son idénticas, con la posible excepción de z = 0 o z = ¥. Para valores de n0 positivos, se introducen ceros en z = 0 y polos en z =¥, mientras que para valores negativos, se introducen polos en el origen y ceros en ¥.
Multiplicación por una secuencia exponencial
Para la secuencia an·x[n], donde a puede ser compleja,Z[an∙x[n]] = X(a-1×z) con | a |∙Rx- < | z | < | a |∙Rx+. Si X(z) tiene un polo en z1, entonces X(a-1×z) tendrá un polo en a∙z1. En general, todas las ubicaciones de los polos y ceros están escaleadas por...