Proporcionalidad directa e inversa

RESUMEN DE PROPORCIONALIDAD
DIRECTA E INVERSA



Resumen:

Dos variables x e y son proporcionales si se cumplen una y sólo una de las siguientes relaciones:
* Su razón y/x es constante. En este caso se dice que las variables x e y son directamente proporcionales.
* Su producto y·x es constante. En este caso se dice que las variables x e y son inversamente proporcionales.Ejemplo:

Una lata de bebida cuesta 350 pesos. Tienes que comprar 10; por lo tanto, necesitas 3500 pesos. Con estos datos tenemos siguiente tabla:

Cantidad de latas (X) | Costo en dinero(Y) |
1 | 350 |
2 | 700 |
3 | 1050 |
4 | 1400 |
5 | 1750 |
6 | 2100 |
7 | 2450 |
8 | 2800 |
9 | 3150 |
10 | 3500 |

Como se aprecia, tenemos dos variables la cantidad de latas y el costo endinero, en ambas los valores aumentan y a cada valor le corresponde un valor y sólo uno en la otra.
El gráfico que describe el comportamiento de las variables es el siguiente:

Con la tabla anterior divide cada par de valores (x e y)

Cantidad de latas (x) | Costo en dinero(y) | Cuocientey/x= k | Constante de proporcionalidadk |
1 | 350 | 350/1 = | 350 |
2 | 700 | 700/2 = | 350 |
3 |1050 | 1050/3 = | 350 |
4 | 1400 | 1400/4 = | 350 |
5 | 1750 | 1750/5 = | 350 |
6 | 2100 | 2100/6 = | 350 |
7 | 2450 | 2450/7 = | 350 |
8 | 2800 | 2800/8 = | 350 |
9 | 3150 | 3150/9 = | 350 |
10 | 3500 | 3500/10 = | 350 |

Notamos que cuando se divide el costo y por la cantidad de latas x se obtiene un valor constante k en cada cuociente.

En resumen observamos que:

*Tenemos dos variables una de las cuales (y), cambia en términos de los valores que toma la otra (x).
* A partir de la tabla de valores podemos verificar que la constante de proporcionalidad es
k = 350 para cada par de valores (x, y) .
* El gráfico que muestra la variación de x e y es una recta. Como k > 0, la recta es ascendente.

Ejemplo:

Consideremos un auto que parte con unavelocidad inicial de Vo de 25 m/s y desacelera de manera que baja su velocidad en 3 m/s en cada segundo, entonces si graficamos la velocidad del auto por segundo transcurrido obtenemos:

Tiempo Velocidad V- Vo (V-Vo)/T
Transcurrido del auto

1 22 3 3
2 19 6 3
3 16 9 3
4 13 12 3
5 10 15 5

Entonces observamos que ladisminución de velocidad (V-Vo) es proporcional al tiempo transcurrido T y en este caso la constante de proporcionalidad tiene un valor negativo – 3.

En resumen tenemos:

* Dos variables una disminuye mientras la otra aumenta, además
* A partir de la tabla verificamos que la constante de proporcionalidad es negativa y
* El gráfico de la velocidad del auto versus el tiempo transcurridoes una recta descendente

Ejemplo:

Estás invitado a un cumpleaños y como es habitual, hay una torta para compartir con el festejado. A la fiesta asisten 10 amigos. A la hora de repartir la torta (si se hace en partes iguales) le corresponde una (1) parte de diez a cada uno, es decir, una décima parte de la torta o también el 10 % del total.

Ahora, en caso de 10 invitados sabemos cuantatorta te correspondería. Si antes de partir la torta se retiraron 2 invitados, ¿el trozo que te tocaría sería más grande o más pequeño? Si llegan 5 invitados más antes de repartir la torta el pedazo que te correspondería ¿es más grande o más pequeño?

Las ilustraciones correspondientes son:
15 invitados | 8 invitados |
| |
La tabla siguiente describe la distribución de torta por cantidad deinvitados, los trozos de torta lo expresaremos en porcentajes, los invitados en número de personas.

Invitados (personas) | Trozos de torta (%) |
1 | 100,00 |
2 | 50,00 |
3 | 33,33 |
4 | 25,00 |
5 | 20,00 |
6 | 16,66 |
7 | 14,28 |
8 | 12,50 |
9 | 11,11 |
10 | 10,00 |
11 | 9,09 |
12 | 8,33 |

Veamos el gráfico que describe la tabla anterior:

Igual que en el caso...