Proporciones aritmeticas

PROPORCIONES ARITMÉTICAS.
EQUIDIFERENCIA O PROPORCIÓN ARITMÉTICA es la igualdad de dos diferencias o razones aritméticas.
Una equidiferencia se escribe de los dos modos siguientes:
a – b = c – d y a . b :: c . d y se lee a es a b como c es a d.
TÉRMINOS DE UNA EQUIDIFERENCIA
Los términos de una equidiferencia se llaman: extremos el primero y el cuarto, y medios el segundo y el tercero.También según lo visto antes se llaman antecedentes al primero y tercer términos y consecuentes al segundo y al cuarto.
Así, en la diferencia 20 – 5 = 21 – 6, 20 y 6 son los extremos, y 5 y 21 son los medios, 20 y 21 son los antecedentes, 5 y 6 son los consecuentes.
CLASES DE EQUIDIFERENCIAS
Hay dos clases: Equidiferencia discreta, que es aquella cuyos medios no son iguales, por ejemplo, 9 – 7 = 8 –6 y equidiferencia contínua, que es la que tiene los medios iguales; por ejemplo, 10 – 8 = 8 – 6.
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS EQUIDIFERENCIAS
TEOREMA
En toda equidiferencia la suma de los extremos es igual a la suma de los medios.
Sea la equidiferencia a – b = c – d. Vamos a demostrar que a + d = c + b.
En efecto: sumando a los dos miembros de la equidiferencia dada a- - b = c – d un extremoy un medio, b + d, tendremos: a – b + b + d = c – d + b + d y simplificando, queda a + d = c + b que era lo que queríamos demostrar.
EJEMPLO
En la equidiferencia 8 – 6 = 9 – 7 tenemos: 8 + 7 = 9 + 6 o sea 15 = 15.
COROLARIOS
De la propiedad fundamental de las equidiferencias se derivan los siguientes corolarios:
1. En toda equidiferencia un extremo es igual a la suma de los medios, menosel otro extremo.
2. Sea la equidiferencia a – b = c – d. Vamos a demostrar que a = b + c – d.
En efecto: ya sabemos por la propiedad fundamental, que: a + d = b + c.
Restando d a ambos miembros, tendremos: a + d – d = b + c – d y simplificando a = b + c – d.
EJEMPLO
En 9 – 5 = 10 – 6 tenemos que 9 = 5 + 10 – 6.
3. En toda equidiferencia un medio es igual a la suma de los extremos,menos el otro medio.
Sea la equidiferencia a – b = c – d. Vamos a demostrar que b = a + d – c.
En efecto: ya sabemos que a + d = b + c.
Restando c a los dos miembros, tendremos: a + b – c = b + c – c y simplificando b = a + d – c.
EJEMPLO
En 11 – 7 = 9 – 5 tenemos que 7 = 11 + 5 – 9.
MEDIA DIFERENCIA O MEDIA ARITMÉTICA es cada uno de los términos medios de una equidiferencia continua, o seacada uno de los medios de una equidiferencia, cuando son iguales. Así, en la equidiferencia 8 – 6 = 6 – 4, la media diferencial es 6.
TEOREMA
La media diferencial es igual a la semisuma de los extremos.
Sea la equidiferencia a – b = b – c. Vamos a demostrar que =
En efecto: por la propiedad fundamental sabemos que a + c = b + b o sea a + c = 2b.
Dividiendo ambos miembros por 2 queda: = o sea= b que era lo que queríamos demostrar.
EJEMPLO
En 12 – 9 = 9 – 6 tenemos 9 = .
HALLAR TÉRMINOS DESCONOCIDOS EN EQUIDIFERENCIAS
1. Hallar el término desconocido en 8 – 6 = 4 – x.
2. Como el término desconocido es un extremo y un extremo es igual a la suma de los medios menos el extremo conocido, tendremos:
X = 6 + 4 – 8 = 2
Y queda, sustituyendo el valor de x en la equidiferencia: 8– 6 = 4 – 2.
2) Hallar el término desconocido en 3.4 – x = - 1.
Como el término desconocido es un medio y un medio es igual a la suma de los extremos menos el medio conocido, tendremos:
x = 3.4 + 1 - = 4.4 - = = 2
y sustituyendo el valor de x: 3.4 - 2 = - 1.
3. Hallar el término desconocido en 14 – x = x – 3.04
Aquí el término desconocido es la media diferencial, que es igual a lasemisuma de los extremos, luego:
x = = = 8.52
y queda, sustituyendo el valor de x en la equidiferencia dada:
14 – 8.52 = 8.52 – 3.04
EJERCICIOS
Hallar el término medio proporcional entre: | Solución |
50 – 42 = 25 – x | R. 17 |
16.5 – 8 = x – 2 | R. 10.5 |
45.3 – x = 18 – 0.03 | R. 27.33 |
x – 0.4 = 25 – 0.004 | R. 25.396 |
- = - x | R. |
- x = - | R. |
8 - = x – 5 | R....