Proyecciones ortogonales

yk2
qm son las columnas de Q, tenemos las f´
as estables que el Gram-Schmidt cl´
ormulas y1 = a1,
yi, yi−
yi, qk =
Matricialmente, si denotamos por Qk =(q1|−...|qk), se tiene
ı, [Q,R]=qr(A) nos devuelve la factorizaci´on QR com-
asico, lo que vamos a comprobar
k
i=1
yk
yk2
,
k
(1)
y
yk
,
(2)
Practica 9: Algoritmo de Gram-Schmidt yFactorización QR

1. Introducci´on

Recuerde que una manera de obtener la factorizaci´on QR de una matriz

A ∈−Rn×m de rango m,

A = QR,consiste en aplicar el conocido m´etodo de ortogonalizaci´on de Gram-Schmidt a las columnas de la matriz A. Si a1,. . . , am son las columnas de A, y q1,. . . ,

yk+1 = ak+1 −−

yi, ak+1−k = 1, . . . ,m −−1,

donde a, b−= AT b es el producto escalar est´andar en Rn.

P1 = I , Pk+1 = Im

−−QkQT ,

k = 1, . . . ,m −−1 ,

yk = Pkak , qk =k = 1, . . . ,m .

Vimos que este m´etodo adolece de problemas de estabilidad, que provocan que ya para valores no muy grandes de m los vectores qk obtenidos no seanortogonales.

MATLAB permite calcular directamente la factorizaci´on QR por medio

de la funci´on qr. As´

pleta de A. La implementaci´on interna de esta factorizaci´onusa algoritmos

mucho m´

a continuaci´on.

2. Trabajo de laboratorio

1. Vamos a crear la funci´on gs( ) que implemente la factorizaci´on Gram- Schmidt seg´un lasf´ormulas (1) y (2).

k-´
De ser el resultado totalmente preciso, deber´
gs(k)=Ik −QQT. Al salir del ciclo debe tener todos los
en la comprobaci´on de queel rango de
ıamos tener QQT =
valores del error almacenados en el vector er
2
a
gs.
qr.
Pr´actica de ordenador IX

a) La funci´on, cuyo encabezado ser´

function...