Proyecto Teoria

Proyecto teor´ del riesgo ıa Fernando Carranza Trinidad 307038940

La aseguradora Shi , tiene un seguro de hospitalizaci´n para determinado grupo. Su aseguradora o ha recabado la siguiente informaci´n: o Hospitalizaciones por miembro de familia 0 1 2 3 4 o m´s a Total N´mero de miembros de familia u 7,977 732 57 6 10 8,772

Cuadro 1: Hospitalizaciones por miembro de familia por a˜o n N´merode miembros de familia por empleado u 1 2 3 4 5 6 7 8 o m´s a Total N´mero de Empleados u 168 280 278 262 146 84 54 66 1,338

Cuadro 2: N´mero de miembros de familia por empleado u Ajuste de un modelo param´trico a los datos de la clase (a,b,1) e Lo primero que buscaremos hacer es asignarle una distribuci´n a los datos de nuestra muestra, de o esta manera podremos hacer mejores inferencias ymanipular nuestra informaci´n de manera mas o precisa. Para los datos del Cuadro 1, las hospitalizaciones anuales, se busca ajustar una distribuci´n o Binomial Negativa Modificada en Cero, y para los datos del Cuadro 2 ajustaremos una Poisson truncada en cero. Sin embargo, antes de ajustar, debemos ver como se comporta la verosimilitud para estas distribuciones. Tomemos el caso g´neral. e Para unadensidad modificada en cero, la funci´n verosimilitud se escribe de la siguiente forma: o
∞ M L(θ, x) = (P0 )n0 M (Pk )nk k=1

1

P´rdidas por hospitalizaci´n e o 0-125 125-250 250-500 500-750 750-1250 1,250-2,500 2,500-5,000 5,000-25,000 25,000 o m´s a Total

N´mero de hospitalizaciones u 36 29 43 35 39 47 33 24 2 288

Cuadro 3: P´rdidas por hospitalizaci´n e o Y la log-verosimilitud quedaexpresada como:
∞ ∞

(θ, x) = n0 ln(pM ) + 0
k=1

nk ln(1 − pM ) + 0
k=1

nk [ln(pk ) − ln(1 − p0 )]
0

De manera que podemos expresar nuestra funci´n de log-verosimilitud como o
∞ 0 ∞

+

1,

en donde: (1)

= n0 ln(pM ) + 0
k=1

nk ln(1 − pM ) y 0

1

=
k=1

nk [ln(pk ) − ln(1 − p0 )]

En donde pM es la probabilidad de cero modificada, pM representa P(N = k), n0 elnumero de 0 k observaciones de la muestra que toman el valor de cero, y nk es el numero de observaciones muestrales que tomaron el valor de k. Con esto podemos concluir que 0 es una funci´n que depende solamente del o M , y que la funci´n parametro p0 o 1 a su vez, depende unicamente de los valores a y b de la distribuci´n ´ o original (sin modificaciones). Como en nuestro problema trataremos todoel tiempo con distribuciones modificadas, el parmetro pM es un par´metro mas del modelo que debemos determinar. Para evia 0 tar el problema que implicaria el maximizar a la funcion de verosimilitud con respecto a demasiados par´metros, tomare en consideraci´n el siguiente resultado, el cual no probare, pero voy a utilizar para a o simplificar los c´lculos: a Proposici´n: Dada una distribuci´n de laclase (a,b,1), el estimador m´ximo veros´ o o a ımil del par´mea M es: tro p0 n0 M P0 = n Donde n0 es el numero observaciones mu´strales que toma el valor cero y n es el numero total de e observaciones. M M ´ Por lo que dado que tenemos P0 , para maximizar la verosimilitud, ya conociendo P0 , unicamente debemos maximizar a 1 de la ecuaci´n (1) respecto a los otros par´metros, los cuales var´andepeno a a diendo de cual miembro de la clase (a,b,1) queramos ajustar.

2

Ajustando el modelo a nuestros d´tos. a

Tabla 1 Lo primero que haremos ser´ ajustar a los datos del Cuadro 1 una distribuci´n binomial negativa a o modificada en cero. Para esto, tomamos la expresi´n de 1 de la ecuaci´n (1) y sustituiremos en esta los o o valores de n0 , pM , nk , y pM , correspondientes a los valoresde una Binomial Negativa, transformando 0 k a la funcion 1 en la siguiente expresi´n: o
∞ 1

=
k=1

nk ln

k+r−1 k

1 1+β

r

β 1+β

k

− (n − n0 ) ln 1 −

1 1+β

r

Funci´n que no podemos m´ximizar de manera anal´ o a ıtica respecto a β o r, por lo que debemos recurrir a m´todos num´ricos. En este caso se recurri´ al programa Excel y a su complemento Solver para la e e o...