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El Condicional
Considera la siguiente proposición: "Si obtienes una A en lógica, entonces te voy a comprar un Mustang amarillo." Esta parece ser compuesta en dos oraciones más simplemente:
p: "Obtienes una A en lógica," y
q: "Te voy a comprar un Mustang amarillo."
La proposición original quiere decir lo siguiente: Si p es verdad, entonces q es verdad, o, más simple, si p, entonces q.También podemos escribir la frase como p implica q, y escribimos p→q.
Ahora supongamos por el bien de la discución de que la proposición original: "Si obtiene una A en lógica, entonces te voy a comprar un Mustang amarillo," es verdad. Esto no significa que tu obtendrás una A en lógica; lo único que quiere decir es que si tu lo haces, entonces te voy a comprar un Mustang amarillo. Si Pensamos en estocomo una promesa, la única manera que pueda ser rota esta promesa es si ganas una A pero no te compro un Mustang amarillo. En general, usamos esta idea para definir la proposición p→q.
Condicional
La condicional p→q, que se lee "si p, entonces q" o "p implica q," se define con la siguiente tabla de verdad.
p
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
La flecha "→" es eloperador condicional, y en p→q la proposición p es llamada en el antecedente, o hipótesis, y q es llamada la consecuente, o conclusión.
Observa que el condicional en un nuevo ejemplo de un operador lógico binario -- asigna a cada par de proposiciones p y q la nueva proposición p→q.
Nota
1. La única manera que puede ser falsa p→q es si p es verdadera y q es falsa—esto es el caso de la "lapromesa rota."
2. Si estudias la tabla de verdad una vez más, puedes ver que decimos que "p→q" es verdadera cuando p es falsa, sin importa el valor de verdad de q. Esto tiene más sentido en el contexto de la promesa — si no obtienes una A, entonces si o no te compro un Mustang, no estoy rompiendo mi promesa. Sin embargo, va en contra del grano si piensas que "si p entonces q" es lo mismo que decir quep causa q. El problema es que hay realmente muchas maneras que las frases en español "si... entonces..." se utilizan. Lógicos están de acuerdo que el significado que se da en la tabla de verdad más arriba es lo más útil para las matemáticas y por lo tanto, eso es el significado que siempre usaremos. Dentro de poco discutiremos otras frases en español que interpretamos con el mismo significado.A continuación, algunos ejemplos que nos ayudaran a explicar cada línea de la tabla de verdad.
Ejemplo 1 (Verdadera implica Verdadera) es Verdadera
Si p y q son verdaderas, entonces p→q es verdadera. Por ejemplo:
Si 1+1 = 2 entonces el sol sale por el este.
Aquí p: "1+1 = 2" y q: "El sol sale por el este."
Antes de seguir...
Observa que las proposiciones p y q no tiene nada que ver unacon otra. No estamos diciendo que el sol sale por el este porque 1+1 = 2, simplemente que la proposición entera es lógicamente verdadera.

Ejemplo 2 Verdadera no Puede Implicar Falsa
Si p es verdadera y q es falsa, entonces p→q es falsa. Por ejemplo considera:
Cuando llueve, llevo un paraguas.
Aquí p: "Esta lloviendo," y q: "Llevo un paraguas." En otras palabras, podemos reformular la fraseo oración como: "Si llueve entonces llevo un paraguas." De hecho, es frecuentemente el caso que llueve (p es verdadera) y se me olvido traer mi paraguas (q es falsa). En tal momento la proposición p→q es claramente falsa.
Antes de seguir...
Observa que interpretamos "Cuándo p, q" como "Si p entonces q."

El siguiente ejemplo explica las dos últimas líneas de la tabla de verdad para lacondicional.
Ejemplo 3 Falso implica cualquier cosa
Si p es falso, entonces p→q es verdadera, no inporta si q es verdadera o no. Por ejemplo:
Si la luna es hecha de queso verde, entonces soy el rey de Inglaterra.
Aquí p: "La luna es hecha de queso verde," que es falsa, y q: "Soy el rey de Inglaterra." La proposición p→q es verdadera, si o no el orador suele ser el rey de Inglaterra (o si, lo...