Punto fijo - ingenieria de sistemas
Páginas: 2 (267 palabras)
Publicado: 4 de octubre de 2010
Método de punto fijo
Un punto fijo de una función , es un número tal que . El problema de encontrar las soluciones de una ecuación y el de encontrar lospuntos fijos de una función son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontar las soluciones de una ecuación , podemos definir una función con unpunto fijo de muchas formas; por ejemplo, . En forma inversa, si la función tiene un punto fijo en , entonces la función definida por posee un cero en .
El métodode punto fijo inicia con una aproximación inicial y genera una sucesión de aproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación . A la función se le conocecomo función iteradora. Se puede demostrar que dicha sucesión converge siempre y cuando .
Ejemplo
Usando el método de punto fijo vamos a aproximar la solución dela ecuación dentro del intervalo .
Lo primero es buscar una función adecuada
0
Y claramente elegimos como función iteradora aademás observe que
para toda , lo cual garantiza que la sucesión que vamos a construir va a ser convergente.
La implementación de este método en Excel esrealmente simple, como veremos.
1. En la celda A5 escribimos nuestra aproximación inicial, en este caso 2.
2. En la celda A6 escribimos la fórmula que calcularálas aproximaciones:
3. Por último arrastramos la celda A6 para generar las restantes aproximaciones.
En la figura 10 se muestran los resultados generados por estemétodo.
Figura 10: Iteración de punto fijo.
Una desventaja potencial del método de punto fijo es que la elección de la función iteradora no siempre es fácil.
Un punto fijo de una función , es un número tal que . El problema de encontrar las soluciones de una ecuación y el de encontrar lospuntos fijos de una función son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontar las soluciones de una ecuación , podemos definir una función con unpunto fijo de muchas formas; por ejemplo, . En forma inversa, si la función tiene un punto fijo en , entonces la función definida por posee un cero en .
El métodode punto fijo inicia con una aproximación inicial y genera una sucesión de aproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación . A la función se le conocecomo función iteradora. Se puede demostrar que dicha sucesión converge siempre y cuando .
Ejemplo
Usando el método de punto fijo vamos a aproximar la solución dela ecuación dentro del intervalo .
Lo primero es buscar una función adecuada
0
Y claramente elegimos como función iteradora aademás observe que
para toda , lo cual garantiza que la sucesión que vamos a construir va a ser convergente.
La implementación de este método en Excel esrealmente simple, como veremos.
1. En la celda A5 escribimos nuestra aproximación inicial, en este caso 2.
2. En la celda A6 escribimos la fórmula que calcularálas aproximaciones:
3. Por último arrastramos la celda A6 para generar las restantes aproximaciones.
En la figura 10 se muestran los resultados generados por estemétodo.
Figura 10: Iteración de punto fijo.
Una desventaja potencial del método de punto fijo es que la elección de la función iteradora no siempre es fácil.
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