Puntos notables

Puntos y rectas notables de los triángulos
Las rectas y puntos notables de un triángulo {draw:frame} son:
las mediatrices, {draw:frame} , que se cortan en un punto llamado circuncentro {draw:frame} ,centro de la circunferencia circunscrita al triángulo;
las medianas, {draw:frame} , que se cortan en el baricentro, {draw:frame} , centro de gravedad del triángulo;
las bisectrices,{draw:frame} , que se cortan en el incentro {draw:frame} , centro de la circunferencia inscrita del triángulo;
las alturas, {draw:frame} , que se cortan en el ortocentro, {draw:frame} .

Las mediatrices
Las mediatrices de un triángulo acutángulo se cortarán siempre en un punto interior del triángulo, luego su circuncentro será interior al triángulo.



En el caso del triángulorectángulo vemos que el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa.


En el caso de un triángulo obtusángulo, el circuncentro es exterior al triángulo.

Las medianas
Las medianas se cortan siempre en un punto interior del triángulo.
El baricentro tiene una propiedad física importante: es el centro de gravedad del triángulo.

Si unimos los puntos medios de los ladosdel triángulo {draw:frame} obtenemos el triángulo {draw:frame} que tiene el mismo baricentro que {draw:frame} y sus medianas miden la mitad que las de {draw:frame} .
Además los lados de {draw:frame} miden la mitad que los lados de {draw:frame} y la superficie de {draw:frame} es la cuarta parte de la superficie de {draw:frame} , pues podemos comprobar que al trazar {draw:frame} se han definidootros tres triángulos iguales: {draw:frame} .

Consideramos una mediana {draw:frame} . Si {draw:frame} es el baricentro se cumple que {draw:frame} .
Se cumple también que si se dibuja {draw:frame} , la mediana de la mediana {draw:frame} , ésta corta al lado {draw:frame} siendo: {draw:frame} .

Las alturas
Las alturas de un triángulo acutángulo se cortan siempre en un puntointerior del triángulo, luego su ortocentro es interior al triángulo.

En el caso de un triángulo obtusángulo, el ortocentro es exterior al triángulo.

En el caso del triángulo rectángulo vemos que el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

Las bisectrices
Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo {draw:frame} se cortan en un punto llamado incentro quesiempre es interior al triángulo. Como el incentro {draw:frame} pertenece a las tres bisectrices equidista de los tres lados y es el centro de la circunferencia inscrita a {draw:frame} .
Para dibujar dicha circunferencia debemos hallar los puntos de tangencia sobre los lados. Basta con trazar una perpendicular desde {draw:frame} a uno de ellos, por ejemplo al lado {draw:frame} , obteniendo{draw:frame} y, a continuación trasladar el resultado a cada uno de los lados del triángulo, como se ve en la figura, ya que {draw:frame} y {draw:frame} .

El teorema de la bisectriz dice que “la bisectriz de un ángulo interno corta al lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados”.
Demostraremos este teorema al ocuparnos de la proporcionalidad directa.
Propiedades relativasa las rectas y puntos notables de los triángulos
Suma de vectores
En un triángulo {draw:frame} , cuyo circuncentro es {draw:frame} y su ortocentro es {draw:frame} , se verifica que el vector {draw:frame} es igual a la suma de los vectores {draw:frame} .

Triángulo órtico* y circunferencia de *Feuerbach
El triángulo {draw:frame} que tiene como vértices los pies de las alturasde un triángulo {draw:frame} se llama triángulo órtico.
Las bisectrices del triángulo órtico de {draw:frame} están en las mismas rectas que contienen a las alturas de dicho triángulo.
La circunferencia *circunscrita al órtico** de {draw:frame} se llama circunferencia de **Feuerbach* o circunferencia de los nueve puntos ya que pasa también por los puntos medios de los lados de {draw:frame}...