Que es la trigonometria

Trigonometria esferica.
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Partimos de una esfera de radio unidad. Si cortamos dicha esfera con un plano que pasa por el centro de la esfera obtenemos lo que se llama un círculo máximo
. Si por el contrario, el plano de corte no pasa por el centro de la esfera, lo que obtendremos es un círculo menor.
Consideremos ahora una esfera y un círculo máximo. Si trazamos una recta perpendicular alplano que define el círculo máximo y que pasa por el centro de la esfera, lo que obtenemos son dos puntos en la esfera que se denominan polos.Además el círculo máximo va a dividir a la esfera en dos semiesferas llamadas hemisferios. Vamos a llamar ángulo diedro al ángulo comprendido entre dos círculos máximos. En este punto llegamos a la gran (e importantísima) definición de este tema. Se va adefinir triángulo esférico como una porción de superficie esférica limitada por tres círculos máximos, con la condición de que la medida de cada uno de los arcos sea menor que 180º. Practicamente en todos los problemas de astronomía hay que hacer cálculos con algún triángulo esférico. Para resolver un triángulo esférico basta con conocer al menos tres de los seis datos de dicho triángulo (tres ladosy tres ángulos). Algunas de las relaciones que cumplen los lados y ángulos de un triángulo:
-Un lado de un triángulo esférico es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
-La suma de los tres lados de un triángulo esférico es menor que 360º.
-La suma de los tres ángulos es mayor que 180º y menor que 540º.
-Si un triángulo esférico tiene dos ángulos iguales, los ladosopuestos también son iguales entre sí.
-Si un triángulo esférico tiene dos ángulos desiguales, a mayor ángulo se opone el mayor lado. Después de ver estas relaciones, es interesante reseñar, que para la resolución de triángulos esféricos existen una serie de fórmulas como las fórmulas de Bessel, fórmula de la cotangente, fórmulas de Borda ... Además, en el caso de un triángulo esférico rectángulo (unángulo es de 90º) , o de uno rectilátero (un lado es de 90º), la resolución se simplifica con la regla del pentágono de Neper.
Llamamos configuración de Menelao a la figura formada por dos segmentos (exteriores, en azul) que se unen en un vértice, entre los que se sitúan otros dos (interiores, en verde), que parten de los extremos de los anteriores y se cortan en un punto .
En el capítulo 13, quetraduce Brianchon, del libro I del Almagesto (hacia 150 d.C.) se demuestra que:
En una configuración de Menelao, usando las letras de la figura para designar a los segmentos, y (igual para  y ), se cumple que:
1.
2.
Esta proposición es el teorema de Menelao, aplicado en uno y otro caso a los triángulos  cortado por la transversal  y  cortado por la transversal .
Pero en lugar de untriángulo cortado por una transversal, Ptolomeo ve relaciones que dan las razones entre los segmentos de una linea exterior(/interior) en función de las razones entre los segmentos de las dos lineas interiores(/exteriores) en una configuración de Menelao.

La demostración de Ptolomeo del resultado anterior es esencialmente idéntica a la primera prueba que se da en este sitio,
A continuación,Ptolomeo demuestra el lema:
Si una cuerda  (ver figura) es cortada en el punto  por un radio ,

y usa este resultado junto con el teorema de Menelao (en el plano) para demostrar el teorema de Menelao en la esfera:
Si tenemos una una configuración de Menelao sobre la superficie de una esfera, es decir, si  son arcos (menores que una semicircunferencia) de círculos máximos de una esfera, entonces:1.
2.
Obviamente Ptolomeo no usa la expresión el seno de m, que no se había inventado, sino la cuerda del doble del arco m. Pero como , podemos traducir las razones de cuerdas de ángulos dobles como razones de senos.
Este resultado es también la proposición I del libro III de las Esféricas (hacia 100 d.C.) de Menelao de Alejandría.
Menelao asume el teorema de Menelao para el plano...