Quimica

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Aquiles y la tortuga

Aquiles, llamado "el de los pies ligeros" y el más hábil guerrero de los aqueos, quien mató a Héctor, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegarallí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él.

a dicotomía

Esta paradoja, conocida como argumento o paradoja de la dicotomía, esuna variante de la anterior.

Zenón está a ocho metros de un árbol. Llegado un momento, lanza una piedra, tratando de dar al árbol. La piedra, para llegar al objetivo, tiene que recorrer antes la primera mitad de la distancia que lo separa de él, es decir, los primeros cuatro metros, y tardará un tiempo (finito) en hacerlo. Una vez llegue a estar a cuatro metros del árbol, deberá recorrer loscuatro metros que le quedan, y para ello debe recorrer primero la mitad de esa distancia. Pero cuando esté a dos metros del árbol, tardará tiempo en recorrer el primer metro, y luego el primer medio metro restante, y luego el primer cuarto de metro... De este modo, la piedra nunca llegará al árbol.

Es posible utilizar este razonamiento, de forma análoga, para «demostrar» que la piedra nuncallegará a salir de la mano de Zenón.

Al igual que en la paradoja de Aquiles y la tortuga, es cierto que el número de puntos recorridos (y tiempos invertidos en hacerlo, según el argumento de la paradoja) es infinito, pero su suma es finita y por tanto la piedra llegará al árbol.

La paradoja de la piedra puede ser planteada matemáticamente usando series infinitas. Las series infinitas sonsumas cuyo término variante (que puede tomar cualquier valor numérico) va hasta el infinito. Las series infinitas pueden ser convergentes o divergentes, en el primer caso la suma de las mismas es un número finito, en el segundo no.

Como introducción al concepto de serie, se muestran un par de series sencillas y luego se aplica esa formulación a la paradoja de Zenón.

Para sumar todos losnúmeros desde 1 a infinito:

[pic]

Para sumar todos los números al cuadrado desde 1 a infinito:

[pic]

Para plantear una serie que modele la paradoja de la piedra se hace una serie que sume la mitad, luego la mitad de la mitad, luego la mitad de la mitad de la mitad y así, hasta el infinito:

[pic]

La serie que se plantea es una serie geométrica, por lo que su suma puede ser calculadacon la siguiente fórmula:

Suma = [pic]

En la sumatoria de la paradoja de Zenón, «a» es [pic] y «r» es la razón de incremento (producto), que es [pic]. Sustituyendo esos valores en la fórmula de suma se tiene:

Suma = [pic]

Entonces se tiene que la suma de la mitad de «algo» más la mitad de la mitad de «algo» y así sucesivamente da 1, «algo» completo. Esto también es aplicable a laparadoja, la mitad de la distancia, más la mitad de la mitad de la distancia y así sucesivamente da como resultado la distancia entera. Por lo tanto se concluye que, recorriendo infinitas mitades es posible recorrer toda la distancia.

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|Argumento de Aquiles y la tortuga |

[pic]
|A: Aquiles T: Tortuga...
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