Quimica

DISTRIBUCIÓN GUMBEL
La distribución Gumbel, es una de las distribuciones de valor extremo, es llamada también Valor Extremo Tipo I, una familia importante de distribuciones usadas en el análisis de frecuencia hidrológico es la distribución general de valores extremos, la cual ha sido ampliamente utilizada para representar el comportamiento de crecientes y sequias (máximo y mínimo)

El métodoconsiste en ajustar a los valores originales de precipitación o caudal a una distribución teórica, la cual es considerado la distribución de Gumbel Tipo I, tiene la siguiente expresión:

ó

Dónde:
P : Probabilidad de que ocurra un evento
e : Base de los logaritmos neperianos
x : Dato de, precipitación (mm ó mm/h), caudales (m3/s)
α y β : Parámetros de la función
y : Variablereducida

Los valores de α y β se determinan a través de las siguientes ecuaciones :

PARA MUESTRAS MUY GRANDE | PARA MUESTRAS RELATIVAMENTE PEQUEÑAS |
| |
: Valor medio de x : Desviación estándar de la muestra de datos de x : Desviación estándar de la variable reducida (Se obtiene en tablas) : Valor medio esperado de la variable reducida (Se obtiene en tablas) |

La desviaciónestándar de la muestra de datos :

Obtenida la ecuación de ajuste, se determina la precipitación máxima o caudal máximo, para un determinado periodo de retorno

Según VENTE CHOW ; Caudales con largos periodos de recurrencia

x : Caudal con una probabilidad dada
: Media de la serie de caudales pico
: Desviación estándar de la serie
K : Un factor de frecuencias definido por cadadistribución. Es una función del nivel de probabilidad asignado a x
TIEMPO DE RETORNO (Tr)

Donde :
J : Riesgo de falla
N : Vida útil esperada

APLICACIÓN EN HIDROLOGIA:
La ley de Gumbel o ley de valores extremos, se utiliza generalmente para ajustar a una expresión matemática, las distribuciones empíricas de frecuencia de caudales máximos anuales, precipitaciones máximas anuales, etc.

Esimportante verificar, antes de aplicar esta distribución de probabilidad, que los coeficientes de asimetría y curtosis de la distribución empírica sean del mismo orden que los valores poblacionales.

Uno de los inconvenientes del uso de esta distribución, es que en una distribución doble exponencial, la variable puede tomar cualquier valor, por lo que se puede asignar probabilidades a valores negativosde la variable aleatoria, cuestión que resta significación física a la aplicación, debido a que las variables hidrológicas toman solamente valores positivos o cero.

DISTRIBUCIÓN LOG-PEARSON TIPO III
Para el uso de esta distribución se convierten los valores de la serie a sus logaritmos decimales y se hallan los siguientes parámetros:
Media :

Desviación estándar :

Coeficiente deasimetría :

El valor de x para cualquier nivel de probabilidad se puede calcular a partir de:

Los valores de K se toman de la tabla 02
TABLAS

Tabla 01 - GUMBEL |
n | | | | n | | |
10 | 0.4952 | 0.9496 | | 35 | 0.5403 | 1.1285 |
15 | 0.5128 | 1.0206 | | 40 | 0.5436 | 1.1413 |
20 | 0.5236 | 1.0628 | | 45 | 0.5463 | 1.1518 |
25 | 0.5309 | 1.0914 | | 50 | 0.5485 | 1.1607 |
30 |0.5362 | 1.1124 |   | 55 | 0.5504 | 1.1682 |
Tabla 01 - GUMBEL |
n | | |   | n | | |
60 | 0.5521 | 1.1747 | | 85 | 0.5578 | 1.1974 |
65 | 0.5535 | 1.1803 | | 90 | 0.5586 | 1.2007 |
70 | 0.5548 | 1.1854 | | 95 | 0.5593 | 1.2037 |
75 | 0.5559 | 1.1898 | | 100 | 0.56 | 1.2065 |
80 | 0.5569 | 1.1938 |   |   |   |   |

Tabla 02 - Valores de K |
Coeficiente de asimetría |Periodo de retorno, Años |
| 1.0101 | 1.25 | 2 | 5 | 10 | 25 | 50 | 100 |
| Nivel de probabilidad, Porcentaje |
Ag | 99 | 80 | 50 | 20 | 10 | 4 | 2 | 1 |
3.0 | -0.667 | -0.636 | -0.396 | 0.420 | 1.180 | 2.278 | 3.152 | 4.051 |
2.8 | -0.714 | -0.666 | -0.384 | 0.460 | 1.210 | 2.275 | 3.114 | 3.973 |
2.6 | -0.769 | -0.696 | -0.368 | 0.499 | 1.238 | 2.267 | 3.071 | 3.889 |
2.4 |...