Razones trigonometricas de angulo suma

1.- Razones trigonométricas de ángulo suma.
Se parte de la circunferencia goniométrica  de la que, para más sencillez, tomamos el primer cuadrante.
OBSERVACION: Recuérdese que una circunferencia goniométrica es aquella de radio unidad. Los segmentos que se signan serán líneas trigonométricas
NOTA: En lo que sigue se usará indistintamente razón y línea trigonométrica.
RECOMENDACIÓN: Esrecomendable para un mejor aprovechamiento, seguir en el papel el proceso dibujando la figura.
Sea el cuadrante de circunferencia de centro O; en él y haciendo coincidir un lado con el eje OX se traza el ángulo a = XOA 

 
Se proyecta, ortogonalmente, A sobre OX en el punto D.  

AD = sen a     (1)  
OD = cos a     (2)
En la misma figura y haciendo coincidir un lado con el lado OA  del ángulo anterior setraza el ángulo b = AOB

B se proyecta, ortogonalmente, sobre OA en el punto C. En ella
BC = sen b  (3) 
OC = cos b  (4)
El ángulo XOB = a + b 

Consideremos tal ángulo en la circunferencia goniométrica y en ella se proyecta B sobre OX en el punto E
 
En ella
sen (a + b) = EB   (5) 
cos (a + b) = OE   (6)
NOTA: En los gráficos anteriores se ha utilizado lo dicho en líneas trigonométricas: seno ycoseno 
Examinando las figuras anteriores se observa que, el seno de la suma de arcos, no es igual a la suma de los senos y el coseno de la suma de arcos, no es igual a la suma de los cosenos. Simbólicamente se expresaría así: 
sen (a + b) ¹ sen a + sen b 
cos (a + b) ¹ cos a + cos b

¿Cuál será su valor? 
Para obtener la fórmula se sigue el siguiente proceso:
* Se reunen todas las figuras en unasola  
* Se proyecta, ortogonalmente, C sobre EB en el punto F, resultando el triángulo rectángulo BFC en el que se verifica:

- La hipotenusa BC = sen b  
- El ángulo FBC = a    por la siguiente propiedad: 
Dos ángulos cuyos lados sean perpendiculares, son iguales.
BC ^ OA y BF ^ OD
- El cateto BF = BC cos a = sen b cos a   (7) 
- El cateto FC = BC sen a = sen b sen a 
También:
 sen b sen a =  sen asen b (8)
* Se proyecta, ortogonalmente, C sobre OX en el punto G  
 
resulta el triángulo rectángulo GOC en el que se verifica:
- La hipotenusa OC = cos b 
- El cateto GC = OC sen a = cos b sen a =  sen a cos b (9) 

- El cateto OG = OC cos a = cos b cos a =  cos a cos b (10)
Examinando la figura 6 se observa la  relación que se expresa  y las fórmulas (5) y (6) se transformarían en:
sen (a + b) =EB = EF + BF  (5’) 
cos (a + b) = OE = OG - EG  (6’)
Si se tiene en cuenta que FC = EG  y EF = GC las fórmulas (5’) y (6’) se transforman en estas otras :
sen (a + b) = EB = GC + BF  (5’’) 
cos (a + b) = OE = OG - FC  (6’’)
Recordando los valores obtenidos en (7), (8), (9) y (10)
BF = sen b cos a   (7) 
FC =  sen a sen b  (8) 
GC = sen a cos b  (9) 
OG = cos a cos b  (10)
Sustituyendo  en (5”) y(6”) resultará que 

sen (a + b)= | sen a cos b + sen b cos a     (11) |
cos (a + b)= | cos a cos b - sen a sen b      (12) |
Fórmulas que nos permite conocer el seno y el coseno de la suma de arcos en función de los senos y cosenos de los sumandos.
OBSERVACION: En lo que sigue se harán transformaciones utilizando propiedades y conceptos ya utilizados; Así:
¿Cual será la tg (a + b)?
Se sabeque:
     sen (a + b) 
 tg (a + b) = --------------         (13) 
     cos (a + b) 
si en (13) sustituimos  los valores obtenidos en (11) y (12) se tendrá:
 tg (a + b) = sen (a + b)/cos (a + b) =
    sen a cos b + sen b cos a 
= ------------------------------- 
    cos a cos b - sen a sen b
Esta fórmula es más “aparatosa” que difícil por ello, la someteremos a la siguiente transformación: dividir lostérminos de la fracción por: cos a cos b  resultando:

Haciendo las sustituciones oportunas resultará:

Fórmula más simple que la (13) y que liga la tangente de la suma de arcos en función de las tangentes de los sumandos.
Teniendo en cuenta que 
ctg (a + b) = 1/ tg (a + b) 
Y recordando que para obtener la recíproca de una fracción se invierten los términos resultará que si:

Será:

Resultado...