razones trigonométricas de angulos

Razones Trigonométricas
de ángulos agudos

1

Razones Trigonométricas de ángulos
agudos
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Un triángulo rectángulo es aquel en el que uno de sus
ángulos es recto (90°), los otros dos son agudos. Llamaremos
catetos a los lados que forman el ángulo recto, siendo la
hipotenusa el lado opuesto a ese ángulo.
β

c : hipotenusa
a ˆ b : catetos
α ˆ β : ángulos agudosc

En la figura mostrada:

Además en el triángulo rectángulo se cumple
que:
α
2
2
2
a +b =c
c>aˆb
α + β = 90°

a

b

2

Razones Trigonométricas de ángulos
agudos
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA
La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo
rectángulo se define como el cociente que se obtiene al
dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del
triángulorectángulo con respecto del ángulo agudo.
β

c

a

α

b
Si en el triángulo anterior nos referimos a las longitudes de
los lados del triángulo con los nombres hipotenusa (c) cateto
opuesto (b) cateto adyacente (a). Podemos definir las razones
trigonométricas de α del modo siguiente:
3

Razones Trigonométricas de ángulos
agudos

us
te
n
Hi
po
α

Cateto opuesto

a

RAZÓNTRIGONOMÉTRICA

Cateto adyacente

Cateto opuesto
senα =
Hipotenusa
Cateto adyacente
cosα =
Hipotenusa

tgα =

Cateto opuesto
Cateto adyacente

Hipotenusa

cscα =
Cateto opuesto
Hipotenusa

secα =
Cateto adyacente
Cateto adyacente
ctgα =
Cateto opuesto

Razones Trigonométricas de ángulos
agudos
Ejempl0 1
Halla las razones trigonométricas del menor ángulo de untriángulo rectángulo, si la hipotenusa mide 5m y uno de los
catetos mide 3m.
Solución
Para poder calcular las seis razones trigonométricas
necesitamos hallar la medida del otro cateto; esto lo hacemos
aplicando el Teorema de Pitágoras. Una vez hallado el valor de
este cateto, procedemos a encontrar los valores de las razones
por medio sus respectivas definiciones.
3
5
senα 
csc α 
5
3
α5

4

3

cos α 

4
5

sec α 

5
4

tan α 

3
4

cot α 

4
3

Razones Trigonométricas de ángulos
agudos
Ejempl0 2
Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 y 15m.
Halla las razones trigonométricas del mayor ángulo agudo.
Solución
Primero hallamos el valor de la hipotenusa, aplicando el
Teorema de Pitágoras; luego, calculamos las razonestrigonométricas, a partir de sus respectivas definiciones y con
los datos dados y obtenidos:
senα 

15
17

csc α 

17
15

cos α 

8
17

sec α 

17
8

tan α 

15
8

co t α 

8
15

α
17

8

15

Razones Trigonométricas de ángulos
agudos
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TRIÁNGULOS NOTABLES
Considerando los
siguientes
triángulos:
k

45°

Se
obtiene:
R.T
30°k 2
45°

k
60°

2k

k

k 3
5k

3k

53°

60°

1/2

3/5

2 / 2

4/5

3 / 2

cos

3 / 2

4/5

2 / 2

3/5

1/2

3 / 3

3/4

1

4/3

3
ctg

2 3 / 3

sec
53°

45°

sen

tg
30°

37°

csc

2

3
3 / 3

4/3

1
2

3/4

5/4

2

5/3

5/3

5/4

37°

4k
7

2 32/ 3

Razones Trigonométricas de ángulos
agudosEJERCICIOS PARA LA CLASE
01. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B); calcular:
E = 2tanA.tanC + 3cosA.cscC
 
02. En un triángulo rectángulo ABC (recto en C); reducir:
2c.cosB + b.tanA
E=
a + c.senA
 
03. En un triángulo rectángulo, los lados de menor longitud miden 2
y 3cm. Si el mayor de los ángulos agudos mide “”; calcular:
5
2
E = 2 senβ
13
 
04. En un triángulo rectánguloABC recto en A se sabe que: b + c =
14 y senB.senC = 0,48. Calcular la longitud de la hipotenusa.
05. En un triángulo ABC (B = 90º), se sabe que: secA = 2,6. Si el
perímetro del triángulo es 60cm, ¿cuál es su área?

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Razones Trigonométricas de ángulos
agudos
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
Son recíprocas, aquellos pares de razones trigonométricas de un
mismo ángulo, que al...