Razones y proporciones

RAZONES Y PROPORCIONES
1 Una razón es una forma de comparar dos cantidades expresadas en la misma unidad de medida. 1.1 Una razón se expresa de cualquiera de las siguientes formas: ∀ a, b ∈ Q, b ≠ 0

a b

o

a:b

en ambos casos se lee: “a es a b”

a se llama antecedente b se llama consecuente Ejercicio 1) La razón entre 4 y 5 se puede escribir como: 4 5 Ejercicio 2) o 4:5 antecedente =4 consecuente = 5

La razón entre 2 m y 80 cm es: 2m 80 cm pero como deben estar en las mismas unidades, al transformar 2 m a cm, se tiene: 200 cm 80 cm

Nota 1 : Si se puede simplificar: ¡ hay que hacerlo !, no sólo los números, también las unidades. Nota 2 : Una razón se comporta en forma similar al de una fracción, por lo tanto se puede amplificar y simplificar. Nota 3 : Una razón tiene unvalor asociado k, que corresponde a la división entre el antecedente y el consecuente (a/b = k o a:b = k). Aplicando lo dicho en la nota anterior, se tiene que: 200 cm 80 cm = 5 2 5:2 = 2,5 antecedente consecuente

Valor asociado

El valor asociado que se encontró da a entender que el antecedente es 2,5 veces el consecuente. Ejercicio 3) Ejercicio 4) Ejercicio 5) Encuentre la razón entre 8 y32 y luego el valor asociado. Por amplificación encuentre 2 razones equivalentes a: a) 2/3 b) 12/15 c) 3:10 d)

11:18

Por simplificación encuentre 2 razones equivalentes a: a) 20/16 b) 36/24 c) 320:240 d) 48/72 Ejercicio 6) Indique si las siguientes razones son equivalentes o no. Sugerencia: amplifique o simplifique una de ellas o bien determine sus valores asociados. a) 5:4 y 15/12 b) 18/24y 6/9 c) 21/14 y 36:24 Ejercicio 7) Encuentre el valor asociado a cada razón siguiente: a) 1/8 b) 24/16 c) 46:92

Hernán Verdugo Fabiani www.hverdugo.cl

1

2.

Una proporción es una igualdad entre 2 razones. Si se tiene que las razones a/b y c/d son equivalentes, entonces:

a c = b d

Se lee:

o

a :b = c ⋅d

a es a b como c es a d

Términos extremos Ejercicio 8) Proporción 4: 9 = 8 : 18 5 : 3 = 15 :__ p:q=x:y 3 : 12 = __ : 4 2.1 Propiedad Fundamental de las Proporciones.

Términos medios

Completar los espacios que faltan en la siguiente tabla: Términos Extremos 4 y 18 5y9 myw Términos Medios 9y8

nyz

En una proporción se cumple lo que se denomina propiedad fundamental, es lo que nosotros ya hemos conocido alguna vez como “producto cruzado”, pues enrealidad corresponde a la igualdad que se presenta al multiplicar los Términos extremos entre sí y lo mismo entre los Términos medios, esto nos queda:

a b

=

c d

⇔

a⋅d = b⋅c

Ejemplo 9) Verificar si la siguiente igualdad de razones que se propone es una proporción o no. 2 : 5 = 16 : 40 Para verificarlo se aplica la propiedad fundamental, si con ello se llega a una igualdad entonces es unaproporción, de lo contrario no lo es. ? 2 • 40 = 5 • 16 80 = 80

¡ Es una proporción !

Ejemplo 10) Verificar si la siguiente igualdad de razones que se propone es una proporción o no. 3 = 12 4 15

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2

Aplicando la propiedad fundamental. ? 3 • 15 = 4 • 12 45 ≠ 48 ¡ No es una proporción ! Ejemplo 11) Verificar si las siguiente igualdades de razonesque se proponen son proporciones o no. a) 21 : 7 = 63 : 21 b) 10 : 8 = 5 : 3 c) ½ = 16 ¼ 8 d) 5 = 2,5 0,4 0,2 e) 3 = 0,25 ½ 1/24

2.1.1 Cálculo de un valor desconocido de una proporción: Ejemplo 12) Sea la proporción x : b = c : d. Si las letras b, c y d representan valores conocidos, faltaría saber el valor de x para conocer la proporción. Para conocer el valor de x, se tienen las siguientesalternativas: amplificación, simplificación o aplicación de propiedades. Veámoslo en un caso numérico: Supongamos que los valores de b, c y d, son 8, 30 y 24, respectivamente. Siendo así, la proporción sería: x = 30 8 24 i) Si simplificamos por 3 la segunda razón, se tendrá que x = 10 8 8 ii) de esto se puede concluir que x = 10

Si amplificamos la primera razón por 3, se tendrá que

3•x = 30...