razón de cambio

Universidad de los Andes
“Núcleo Universitario Rafael Rangel”
Departamento de Física y Matemática
Pampanito, Edo. Trujillo

ANALISIS MATEMÁTICO

Alumnos:
Suarez B, Yenifer C.
Saez B, Harrison J.

Prof. José Romano.

Abril, 2014

RAZÓN DE CAMBIO
INTRODUCCIÓN
En el mundo en que vivimos, es un mundo dinámico y cambiante. La población aumenta, los recursos
naturales disminuyen, lainflación baja o sube, por consiguiente en muchos de estos fenómenos o situaciones
es importante conocer cuál es el más pequeño (mínimo) o más grande (máximo) valor, como aumenta
(crece) o disminuye (decrece) ese valor, en un intervalo de tiempo específico, en general problemas donde se
estudian fenómenos relativos a la variación de una cantidad que depende de otra, se hace necesario describiry cuantificar estos cambios a través de modelos matemáticos, una de las maneras es que los fenómenos
pueden ser cuantificados mediante una función, es importante conocer su correspondiente razón de cambio,
donde dicho cambio se matematiza mediante el cálculo, que se considera como la rama de las matemáticas
que realiza las operaciones necesarias para prever un resultado de una acciónpreviamente concebida, o
conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.
DESARROLLO
La derivada es uno de los instrumentos más poderosos de la matemática y de las ciencias aplicadas Según
Swokowski (1989), la definición de derivada es;
Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a a. La derivada de f en a, denotada por
f’(a), está dada por
( )(

)

( )

si el límite existe.

Aplicaciones de la derivada (Según Swokowski 1989):
(i)
(ii)

Recta tangente: La pendiente de la recta tangente a la
gráfica de f en el punto (a, f (a)) es f ’(a).
Velocidad: Si un punto P se mueve a lo largo de una recta
coordenada de manera que al tiempo t su coordenada es
s(t), entonces su velocidad al tiempo a es s’(a).

Razón de cambio(Según Saenz 2005):
La razón de cambio es otro nombre que se le da a la derivada cuando ésta es vista como el límite de un
cociente (razón) incremental. Por definición, si xo es un punto del dominio de la función y=f(x), entonces:
( )
El incremento

, donde
y=

xo + x) – f(xo) y x= x –xo,

xo + x) – f(xo) mide el cambio experimentado por y=f(x) cuando cambia de xo a

xo+ x . Elcociente
(

)

( )

Es la razón de cambio promedio de y respecto a x, cuando x cambia de xo a xo+ x. El límite de este cambio
promedio cuando x

0 es la razón de cambio instantáneo de y respecto a x en x o. Pero éste no es otra cosa

que la derivada f ’(xo). En resumen:
Si y=f(x), la razón de cambio (instantánea) de y respecto a x en xo es f’(xo).

Razón de cambio relacionadas (Según Saenz2005):
Supongamos que tenemos dos variables, digamos x e y, que ambas son funciones del tiempo: x=f(t) e y=g(t)
y que estas variables están relacionadas mediante una ecuación F(x,y)=0. Derivando implícitamente esta
ecuación respecto al tiempo, se obtiene otra ecuación que relaciona las razones de cambio dx/dt y dy/dt. Por
este motivo diremos que dx/dt y dy/dt son razones de cambiorelacionadas. En esta situación, si se conoce
una de ellas, es posible encontrar la otra.
Estrategia para resolver problemas de razones de cambio relacionadas (Según Saenz 2005):
Se sugiere los siguientes pasos en la solución de un problema de razones de cambio relacionadas. Estos
pasos pueden tener variaciones ocasionales.
1er Paso: Construir una figura que ilustre el problema, indicando las constantesy las variables.
2do Paso: Identificar la información que se pide. Además, escribir los datos que se proporcionan.
3er Paso: Escribir las ecuaciones que relacionan las variables y las constantes.
4to Paso: Derive (implícitamente) la ecuación hallada en el paso 3.
5to Paso: Sustitúyase, en la ecuación que resulta al derivar, todos los datos pertinentes al momento particular
para el que se...