Realimentacion De Estados

Cap´tulo 8 ı ´ Realimentacion de Estados y Observadores
La teor´a de sistemas lineales que vimos da la base para la teor´a de control lineal. En ı ı este cap´tulo introducimos los conceptos y t´ cnicas de control en sistemas descriptos por ı e ´ variables de estado. Solo consideraremos sistemas estacionarios. ´ La teor´a de control lineal involucra la modificacion del comportamiento de un sistemaı de m entradas, p salidas y n estados ˙ x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t), (8.1)

´ que llamamos la planta o ecuaci´ n de estados en lazo abierto, mediante la aplicacion de una o ´ realimentacion lineal de estados de la forma u(t) = Nr(t) − Kx(t), (8.2)

˜ donde r(t) es el nuevo nombre para la senal de entrada. La matriz K es la ganancia de realimentaci´ n de estados y N la ganancia deprecompensaci´ n. o o ´ La substitucion de (8.2) en (8.1) da la ecuaci´ n de estados en lazo cerrado o ˙ x(t) = ( A − BK ) x(t) + BNr(t) y(t) = Cx(t). (8.3)

Es obvio que el sistema a lazo cerrado tambi´ n es lineal y estacionario. La Figura 8.1 ree ´ presenta el esquema de control por realimentacion de estados para un sistema SISO. El ´ control es est´ tico, pues u depende solo de valores presentesde los estados x y la referencia a r. Cuando los estados del sistema no pueden medirse, se recurre a estimarlos mediante un ´ observador de estados, que reconstruye x a partir de mediciones de y y u. La combinacion de ´ ´ un observador y realimentacion de estados es un controlador din´ mico por realimentacion a de salida, esquematizado en la Figura 8.2. En este cap´tulo veremos ı ˜ t´ cnicas dediseno de K para e ´ ´ • estabilizacion (ubicacion de polos), ´ ˜ • esquemas de regulacion y seguimiento (desempeno y robustez), 144

´ 8. Realimentacion de Estados y Observadores

Notas de CAUT2 - 145

c E N

r

E j E B −T

u

- j6

˙ x

e ¡

x

- C

Ec

y

A  K  ´ Figura 8.1: Realimentacion de estados

b E j E B −T

r

u

- j6

˙ x

e ¡

x

- C

Eby

A  ˆ x
Observador '

K 

'

´ Figura 8.2: Realimentacion de salida con observador

˜ t´ cnicas de diseno de observadores. e La meta a alcanzar: ˜ ´ saber disenar un sistema de control lineal por realimentacion ´ de salida (v´a realimentacion de estados + observador) para saı ˜ tisfacer especificaciones deseadas de estabilidad, desempeno y robustez. En la primera mitad delcap´tulo introducimos las t´ cnicas para sistemas SISO. En la ı e ´ segunda, presentamos una t´ cnica para sistemas MIMO. Veremos otra t´ cnica (optima) e e para sistemas MIMO en el cap´tulo que sigue. ı

8.1.

´ Realimentacion de Estados

Comenzamos con sistemas SISO y el esquema de control de la Figura 8.1, suponiendo ´ por el momento el precompensador N = 1 para simplificar la notacion. ´ Unapropiedad de sistemas lineales esencial en la realimentacion de estados es la de ´ controlabilidad. Nuestra primer observacion importante es que La controlabilidad de un sistema es invariante con respecto ´ a realimentacion de estados. Teorema 8.1 (Invariancia de la controlabilidad respecto a realimentacion). El par ( A − ´ 1×n ´ BK, B), para cualquier vector K , es controlable si y solo si el par (A, B) es controlable.

´ 8. Realimentacion de Estados y Observadores

Notas de CAUT2 - 146

Demostraci´ n. La matriz de controlabilidad del sistema a lazo abierto (8.1) es o

C = [ B, AB, A2 B, . . . , An−1 B],
y la matriz de controlabilidad del sistema a lazo cerrado (8.3) es

CK = [ B, ( A − BK ) B, ( A − BK )2 B, . . . , ( A − BK )n−1 B].
No es dif´cil chequear que C y CK est´ nrelacionadas de la forma ı a   1 −KB −K ( A − BK ) B . . . −K ( A − BK )n−2 B 0 1 −KB . . . −K ( A − BK )n−3 B   0 0 1 . . . −K ( A − BK )n−4 B CK = C   .  . . . .. . . . . .  . . . . 0 0 0 ... 1 n×n Notar que como K es 1 × n y B es n × 1, todas las entradas de la matriz que multiplica a C son escalares. Como esta matriz es no singular, el rango de C es igual al rango de CK . ´ As´...