Regla De L'Hôpital

Regla de L’Hôpital.

Regla de L’Hôpital: Supongamos que [pic] y [pic] admiten derivadas [pic] y [pic] en cada punto [pic] de un intervalo abierto [pic] ysupongamos que
[pic] y [pic].
Supongamos también que [pic] para cada [pic] en [pic]. Si el límite
[pic]
existe y tiene un valor tal como [pic], entonces ellímite
[pic]
existe y tiene el valor [pic].

Observación: Este resultado se enunció para el límite lateral derecho, pero también es válido para cuando seconsidera el límite lateral izquierdo; o bien, el límite total o límite bilateral.

Ejemplos:

1. Calcular [pic].
En este caso: [pic] y [pic]. Sus derivadasson [pic] y [pic], para cada [pic] real. Además:
[pic] y [pic].
También se tiene que:
[pic].
Luego, por la Regla de L’Hôpital:
[pic].

2. Usar la Reglade L’Hôpital para obtener la fórmula [pic].
En este caso: [pic] y [pic]. Sus derivadas son [pic] y [pic], para cada [pic] real. Además:
[pic] y [pic].También se tiene que:
[pic].
Luego, por la Regla de L’Hôpital:
[pic].


3. Calcular [pic].
En este caso: [pic] y [pic]. Sus derivadas son [pic] y [pic].Además:
[pic] y [pic].
También se tiene que:
[pic].
Como este límite también adopta la forma indeterminada [pic], aplicamos identidades trigonométricas ytransformaciones algebraicas para obtener lo siguiente:

[pic]
[pic].

Esto es: [pic].

Luego, por la Regla de L’Hôpital:[pic].

Nota: En el ejemplo 3, hay que tomar [pic] en algún intervalo abierto tal que [pic] sea distinto de [pic]; por ejemplo, [pic] en el intervalo [pic].