Regla de L'Hopital Investigación

INTRODUCCIÓN

A lo largo de la historia de las matematicas se han utilizado distintos metodos para resolver problemas matemáticos en todas sus Ramas, éstos métodos son escenciales ya que marcan la ectructura del problema a resolver.
Uno de los métodos matemáticos más comunes es la Regla de L’Hopital; la cual ayuda a resolver prolemas sumamente complejos y que sin ella seria algo literalmenteimposible.
Es importante el conocer las distintas formas en las que se utiliza ésta regla ya que como se menciona con anterioridad, es de suma importancia y es requerida para resolver ciertos problemas matemáticos.
 
REGLA DE L’HOPITAL

En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funcionesque estén en forma indeterminada.
Esta regla hace uso de la derivada y tiene un uso condicional. Ésta sólo puede usarse directamente en límites que son «igual» a 0/0 o a ±∞/±∞. Otras formas indeterminadas requieren alguna manipulación algebraica, por lo general, establecer que el límite es igual a y, tomar el logaritmo natural en ambos miembros, y entonces aplicar la regla de l'Hôpital.

Laregla de L´Hôpital permite resolver muchos casos de indeterminación de límites de funciones en un punto x = a. En principio la vamos a enunciar así:

Un límite indeterminado de la forma:



valdrá L, en caso de que también sea L el límite en x=a del cociente de las derivadas de numerador y denominador, es decir:

De esta manera podemos resolver indeterminaciones del tipo 0/0.Ejemplos

La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador , por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).

Aplicación sencilla





Aplicación consecutiva

Mientras lafunción sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:






Adaptaciones algebraicas

Dada la utilidad de la regla, resulta práctico transformar otros tipos de indeterminaciones al tipo mediante transformaciones algebraicas:

Cocientes incompatibles

Las indeterminaciones de tipo se pueden transformar mediante la doble inversión de los cocientes:De esta forma se puede demostrar que las indeterminaciones de tipo también se pueden resolver por medio de la aplicación de la regla de L'Hôpital de forma directa, sin aplicación de la doble inversión.

Indeterminaciones no cocientes

A veces algunos límites indeterminados que no aparecen dados como cocientes pueden ser hallados con esta regla.

• Tipo




GeneralizacionesLa regla de L'Hôpital se puede extender a funciones escalares de n variables que sean diferenciables. Dadas dos funciones f y g tales que f(c) = g(c) = 0, se tiene:



, representan los gradientes de ambas funciones escalares.
, representa el producto escalar de dos vectores.
, representa la norma de un vector.
, es el ángulo formado por el gradiente de f y el vector .
, es elángulo formado por el gradiente de g y el vector .

Dependencia de la regla de L’Hopital

En matemáticas, en la medida de lo posible, conviene saber realizar ciertos cálculos básicos de varias formas distintas, porque aunque en muchas ocasiones podemos salir del paso sabiendo un único método puede haber momentos en los que nos encontremos algún caso especial para el cual dicho método no seasuficientemente efectivo.

Un ejemplo muy típico es la resolución de sistemas de ecuaciones. Los primeros sistemas de ecuaciones que se enseñan en secundaria son los lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas, para los que se proporcionan tres métodos de resolución: sustitución, igualación y reducción. Lo que hay que evitar es lo que ocurre en muchas ocasiones, que es que el alumno se acostumbra a...