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Límite matemático
En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.|Contenido |
|[ocultar] |
|1 Límite de una función |
|1.1 Definición rigurosa |
|1.2 Límites notables |
|1.2.1 Demostración |
|2 Límite deuna sucesión |
|3 Propiedades de los límites |
|3.1 Generales |
|3.2 Indeterminaciones |
|4 Véase también |
|5 Referencias |
|6 Enlaces externos|

Límite de una función

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Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Artículo principal: Límite de una función

Definición rigurosa

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:
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Si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de ctal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee. Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos:
[pic]
Esta definición se denomina frecuentemente definición épsilon-delta de límite, y se lee como:
"El límite cuando x tiende a c existe si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c (x no esigual a c) es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

Límites notables

Como ejemplo de límites notables tenemos los siguientes límites de funciones, que proveen resultados muy interesantes.
• [pic]    (número e)
• [pic]
• [pic]

Demostración

Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la inecuaciónsen(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sen(x), obteniendo:
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Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:
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Calculando el límite cuando x tiende a 0:
[pic]

Lo que es igual a:
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Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límitenecesariamente vale 1:
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El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. Es decir:
[pic]
El límite que obtiene el número e se demuestra de manera análoga, desarrollando el binomio de Newton y aplicando el límite cuando x tiende a infinito.

Límite de una sucesión

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[pic]
[pic]
Artículoprincipal: Límite de una sucesión
La definición del límite matemático en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando x tiende a [pic]. Decimos que la sucesión an tiende hasta su límite a, o que converge o es convergente (a a), lo que denotamos como:
[pic]
si podemos encontrar un número N tal que todos los términos de la sucesión a a cuando n crecesin cota. Formalmente:
[pic][pic]

Propiedades de los límites

Generales

Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes propiedades generales, que son usadas muchas veces para simplificar el cálculo de los mismos.
• [pic]
• Límite por un escalar.
[pic]donde k es un multiplicador escalar.
• Límite de una suma.
[pic]
• Límite de una...