Reglas generales para construir los lugares geometricos

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Ingeniería de control

REGLAS GENERALES PARA CONSTRUIR LOS LUGARES GEOMÉTRICOS

Profr. Ing. Sergio A. Cadena Hdz.

Alumno: Manuel Alejandro Chapa Ríos.

Ing. Electromecánica.

Agujita Coahuila Junio 2010

REGLAS GENERALES PARA CONSTRUIR LOS LUGARES GEOMÉTRICOS

1. Ubique los polos y ceros de G(s)H(s) en el plano s. Las ramificacionesdel lugar geométrico de las raíces empiezan en los polos en lazo abierto y terminan en los ceros (ceros finitos o ceros en infinito) .A partir de la forma factorizada de la función de transferencia en lazo abierto, ubique los polos y los ceros en lazo abierto en el plano s. [Observe que los ceros en lazo abierto son los de G(s)H(s), en tanto que los ceros en lazo cerrado son los de G(s) ylos polos de H(s)].

Observe que los lugares geométricos de las raíces son simétricos con respecto al eje real del plano s, debido a que los polos y ceros complejos sólo ocurren en pares conjugados.

Encuentre los puntos inicio y fin de los lugares geométricos de las raíces y localice también el número de lugares geométricos de las raíces separados. Los puntos del lugar geométrico quecorresponden a K = 0 son los polos en lazo abierto. Esto se aprecia a partir de la condición de magnitud, suponiendo que K tiende a cero, o que

[pic]

Esta última ecuación implica que, conforme K disminuye, el valor de s debe tender a uno de los polos en lazo abierto. Por tanto, cada lugar geométrico de las raíces se origina en un polo de la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s).Conforme K tiende a infinito, cada lugar geométrico tiende al cero de la función de transferencia en lazo abierto o al infinito del plano complejo. Esto se aprecia del modo siguiente: si suponemos que K tiende a infinito en la condición de magnitud, entonces

[pic]

Por tanto, el valor de s debe aproximarse a uno de los ceros finitos en lazo abierto o a un cero en lazo abierto eninfinito. [Si se incluyen los ceros en infinito en la cuenta, G(s)H(s) tiene la misma cantidad de ceros que de polos.]

Una gráfica del lugar geométrico de las raíces tendrá tantas ramificaciones como raíces tenga la ecuación característica. Dado que, por lo general, la cantidad de polos en lazo abierto es mayor que la de ceros, la cantidad de ramificaciones es igual a la de los polos Si lacantidad de polos en lazo cerrado es igual a la cantidad de polos en lazo abierto, la cantidad de ramificaciones individuales del lugar geométrico de las raíces que terminan en los ceros finitos en lazo abierto será igual a la cantidad m de ceros en lazo abierto. Las n - m ramificaciones restantes terminan en infinito (n - m ceros implícitos en infinito) a lo largo de las asíntotas

Si incluimoslos polos y los ceros en infinito, la cantidad de polos en lazo abierto es igual a la de ceros en lazo abierto. Por tanto, siempre podemos plantear que los lugares geométricos de las raíces empiezan en los polos de G(s)H(s) y terminan en los ceros de G(s)H(s) conforme K aumenta de cero a infinito, en donde los polos y los ceros incluyen tanto aquellos finitos y en infinitos en el planos.2. Determine los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real. LOS lugares geométricos de las raíces sobre el eje real se determinan mediante los polos y los ceros en lazo abierto que se encuentran sobre él. Los polos y los ceros complejos conjugados de la función de transferencia en lazo abierto no afectan la ubicación de los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real, porquela contribución del ángulo de un par de polos o ceros complejos conjugados es 360⁰ sobre el eje real. Cada parte del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real se extiende sobre un rango de un polo o cero a otro polo o cero. Al construir los lugares geométricos sobre el eje real, seleccione un punto en éste. Si la cantidad total de polos y ceros reales a la derecha de este punto de prueba...
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