Relación Básica Derivadas Parciales

GRADO EN ECONOMÍA. MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA y LA EMPRESA
RELACIÓN BÁSICA DE PROBLEMAS. LECCIÓN 2 (Epígrafes 1-3)

1.- Dada la función f ( x) 

x2 , calcule: x2

a) La función derivada. b) La derivada en el punto x = 4. c) La recta tangente en el punto x = 4.

Solución: a) Para calcular la función derivada de un cociente de dos funciones aplicamos la derivada del cociente. 2 x( x 2)  x 2 x 2  4 x  f ´(x)  ( x  2) 2 ( x  2) 2 como podemos observar, la función derivada de una función es otra función. Generalmente, y por comodidad del lenguaje, no se dice función derivada, sino sólo derivada, lo cual puede llevar a error con el concepto de derivada de una función en un punto, que es sólo un número. b) Para calcular el valor de la derivada en un punto, podríamos procederde dos formas. En una aplicamos la definición de la derivada, y en la segunda, que es la que realmente utilizamos en la práctica, se calcula la derivada utilizando las reglas de derivación. Es decir:

1ª forma:

( 4  h) 2 8 f (4  h)  f (4) h2 h  lim 4  h  2  lim  lim 0 f ´(4)  lim h 0 h 0 h 0 h( h  2) h 0 h  2 h h

es evidente que esta forma requiere muchos más elementosmatemáticos de los que aquí nos ocupan. Por tanto, a partir de ahora, para calcular la derivada en un punto, calcularemos la función derivada y sustituiremos en el punto dado, segunda forma que hemos comentado.
¡OJO! La derivada de una función en un punto es un valor numérico, que nos indica la variación porcentual de la función en el punto; por tanto cuando se habla de derivada inmediatamentehabría que preguntar ¿En que punto?

2ª forma:

f ´(x) 

x 2  4x  f ´(4)  0 ( x  2) 2

c) La obtención de la recta tangente está también relacionada con el cálculo de derivadas, dado que la derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente de la función en dicho punto.

La recta tangente de una función f(x), en un punto dado a es:

y  f ( x )  f ´(a)( x  a )  f ( a ) para a  4 y  f ´(4)( x  4)  f ( 4)  y  8

2.- Dada la función:

f ( x)  3 x 2  ln x  5 x
a) b) c)

Obtenga su dominio. Analice su crecimiento o decrecimiento. ¿Es convexa o cóncava en x  1?

Solución: a) La función tiene una parte polinómica y otra algorítmica, por lo que existirá siempre que el argumento del algoritmo sea estrictamente positivo, es decir,D f  (0, )  x  R / x  0 .
b) Para analizar el crecimiento de una función necesitamos calcular el signo de su función derivada primera, si ésta es positiva la función es creciente y si es negativa es decreciente. Pasemos a ver qué ocurre con nuestro problema:

f ' ( x)  6 x 

1  5. x

Veamos ahora en qué puntos se anula esta derivada:
1  5  0  6 x 2  5x  1  0  x 5  25 24 12 1   x1  3   1  x2  2 

6x 

x

Estos puntos dividen al dominio de f en tres intervalos:
 1 1 1 1   0, ,  , ,  ,   .  3  3 2  2 

Dando valores en un punto arbitrario de cada intervalo, obtenemos: 1 1 3 f '     4  5   0, 2 4 2 1  2  12 5   5    0, f '   10 5 5 2 f ' (1)  6  1  5  2  0 .

 1 1  Por lo tanto, f escreciente en  0,  y  ,   , y es decreciente en  3  2 

1 1  , . 3 2

c) Una función es cóncava cuando el signo de su segunda derivada es negativo, y convexa en caso contrario. Calculemos por tanto la segunda derivada:

f ' ' ( x)  6 

1 . x2

Como f’’(1) = 5 > 0, entonces f es estrictamente convexa en x = 1.

3.- Una empresa produce dos bienes utilizando mano de obra y materiaprima en cantidades x e y, respectivamente. La función de producción viene dada por la siguiente expresión:

q  q1 , q 2   Ln( x 2  y ) , xy 1 / 2 

Sabiendo que la empresa está utilizando 10 unidades de mano de obra y 100 unidades de materias primas, calcule la matriz jacobiana de la función de producción q para estos niveles. ¿Qué información económica recoge esta matriz?...