Relación entre carga, fuerza cortante y momento flector

Relación entre carga, fuerza cortante y momento flector.
Si una viga sostiene más de dos o tres cargas concentradas, o cuando soporta cargas distribuidas, es muy probable que el método para graficar las fuerzas cortantes y losmomentos flectores descritos en la sección 7.5 se vuelvan muy laboriosos. La elaboración del diagrama de fuerza cortante y, especialmente, la del diagrama del momentoflector, se simplificaran en gran medida si se toman en consideración ciertas relaciones que existen entre carga, la fuerza cortante y el momento flector.
Considérese una viga simplemente apoyada AB que soporta una carga distribuida w por unidad de longitud (figura 7.11a), y sean C y C’ dos puntos sobre la viga separados por una distancia Δx entre si. La fuerza cortante y el momento flector ubicadosen C estarán representados, respectivamente, con V y M, los cuales se supondrán positivas; la fuerza cortante y el momento flector localizados en C’ serán representados mediante V + ΔV y M + ΔM.
Ahora se separa el tramo de viga CC’ y se traza su diagrama de cuerpo libre (figura 7.11b). Las fuerzas ejercidas sobre el cuerpo libre incluyen una carga de magnitud wΔx y las fuerzas y los partesinternos que actúan en C y C’. Como se ha supuesto que la fuerza cortante y el momento flector son positivos, las fuerzas y los pares estarán dirigidos en la forma indicada por la figura.

Relación entre carga y fuerza cortante.

Se escribe que la suma de las componentes verticales de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre CC’ es igual a cero:V - (V + ΔV) – wΔx = 0
ΔV = -wΔx

Al dividir ambos lados de la ecuación anterior entre Δx, y haciendo luego que Δx tienda a cero, se obtiene:

dVdx = - w(7.1)
La formula (7.1) indica que para una viga de la forma que muestra la figura 7.11a, la pendiente dV/dx de la curva de la fuerza cortante es negativa; además, el valor absoluto de lapendiente en cualquier punto es igual a la carga por unidad de longitud en dicho punto. Si se integra la ecuación (7.1) entre los puntos C y D, se obtiene
VD- VC = XCXDw.dx (7.2)
VD – VC = -(área bajo la curva de carga entre C y D) (7.2’)

Obsérvese que también se pudo haber obtenido este resultado considerando el equilibrio de la porción CD de la viga, puesto queel área bajo la curva de carga representa la carga total aplicada entre C y D.
Es necesario señalar que la ecuación (7.1) no es valida en un punto donde se aplica una carga concentrada; como se vio en la sección 7.5, la curva de fuerza cortante es discontinua en dicho punto. En forma similar, las ecuaciones (7.2) y (7.2’) dejan de ser validas cuando se aplican cargas concentradas entre C y D,puesto que dichas ecuaciones no toman en consideración el cambio brusco en la fuerza cortante ocasionado por una carga concentrada. Por tanto, las ecuaciones (7.2) y (7.2’) solo se deben aplicar entre cargas concentradas sucesivas.

Relaciones entre la fuerza cortante y el momento flector.
Ahora se escribe la suma de momentos con respecto a C’, según el diagrama de cuerpo libre mostrado, esigual a cero y se obtiene
M+∆M-M-V∆x+w∆x∆x2=0
∆M=V∆x-12w(∆x)2
Si se dividen ambos lados de la ecuación anterior entre ∆x y se hace que ∆x tienda a cero, se obtiene
dMdx=V

La ecuación anterior indica que la pendiente dM/dx de la curva de momento flector es igual al valor de la fuerza cortante. Esto es verdadero para cualquier punto cuando la fuerza cortante es biendefinido, es decir, en cualquier punto donde no se aplique una fuerza concentrada. De esta manera, la ecuación también indica que la fuerza cortante es igual a cero en aquellos puntos en donde el momento flector es máximo. Esta característica facilita el cálculo de los puntos donde es más propensa a que la viga falle bajo flexión.
Si integramos la ecuación anteriormente mencionada entre los puntos...