respuesta forzada de un sistema amortiguado viscoso a sujeto a una sola frecuencia de excitación armonica







“RESPUESTA FORZADA DE UN SISTEMA AMORTIGUADO VISCOSO SUJETO A UNA SOLA FRECUENCIA DE EXCITACIÓN ARMÓNICA”.









RESORTE.
2.1.1. DEFINICIÓN DE RESORTE.
Un resorte es un enlace flexible mecánica entre dos partículas en un sistema mecánico. En realidadun resorte en sí es un sistema continuo. Sin embargo, la inercia del resorte es generalmente pequeñaen comparación conlos otros elementos del sistema mecánico y es despreciada. Bajo este supuestola fuerza aplicada a cada extremo del resorte es la misma.
La longitud de un resorte cuando no está sujeto a fuerzas externas que le llama  longitud sin estirar. Puesto que el resorte está hecho de un material flexible, la fuerza F que se debe de aplicar aal resorte para cambiar su longitud en x es una función continua dex,


2.1.2. ECUACIONES CONSTITUTIVAS DEL ELEMENTO RESORTE.
Las ecuaciones constitutivas relacionan tensiones con deformaciones. En este curso se adopta como ecuaciones constitutivas las más simples en las que la fuerzas actuantes (normal, flexión, corte, torsión) varían proporcionalmente con la deformación correspondiente. Los coeficientes de proporcionalidad son los módulos de elasticidadlongitudinal E (módulo de Young) para las tensiones axiales asociadas al esfuerzo normal y la flexión y el módulo de elasticidad transversal G para las tensiones de corte asociadas al esfuerzo de corte y la torsión, juntamente con coeficientes que caracterizan geométricamente a la sección. Las expresiones que resultan son las siguientes:








Las ecuaciones en la última columna de laTabla 1.1 son lineales. Ejemplos de ecuaciones constitutivas no lineales son las correspondientes al endurecimiento (el módulo E aumenta con la deformación), ablandamiento (el módulo E disminuye con la deformación) o comportamiento plástico.

2.1.3 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN.
La manera más sencilla de analizar un resorte físicamente es mediante su modelo ideal global y bajo la suposición de que ésteobedece la Ley de Hooke. Se establece así la ecuación del resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida sobre el mismo con el alargamiento/contracción o elongación x producida, del siguiente modo:

siendo    


Donde k es la constante elástica del resorte, x la elongación (alargamiento producido), A la sección del cilindro imaginario que envuelve al muelle y E el módulo de elasticidad delmuelle (no confundir con el módulo de elasticidad del material).

La energía de deformación o energía potencial elástica  asociada al estiramiento o acortamiento un muelle lineal viene dada por la integración de trabajo realizado en cada cambio infinitesimal  de su longitud:



Si el muelle no es lineal entonces la rigidez del muelle es dependiente de su deformación y en ese caso se tiene unaformula algo más general:



2.1.4. ECUACIÓN DIFERENCIAL Y ECUACIÓN DE ONDAS.
Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando  por la longitud total, y llamando al producto  o k intrínseca, se tiene:

    donde   


Llamaremos  a la tensión en una sección delmuelle situada a una distancia  de uno de sus extremos, que consideraremos fijo y que tomaremos como origen de coordenadas,  a la constante de un pequeño trozo de muelle de longitud , a la misma distancia y  al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza . Por la ley del muelle completo:


Tomando el límite:



que por el principio de superposición resulta:Si además suponemos que tanto la sección como el módulo de elasticidad pueden variar con la distancia al origen, la ecuación queda:



Que es la ecuación diferencial completa del muelle. Si se integra para todo x, se obtiene como resultado el valor del alargamiento unitario total. Normalmente puede considerarse F (x) constante e igual a la fuerza total aplicada. Cuando F (x) no es constante...