Resumen de relaciones y funciones

Profesorado de Informática - Ciencias de la Computación - INET – DFPD Matemática Discreta usando el computador 2010 (Matemática I)

RESUMEN DE RELACIONES Y FUNCIONES
Producto cartesiano: Dados dos conjuntos A y B, llamaremos producto cartesiano AxB ={(a,b)/a ∈ A ∧ b ∈ B} Relación de A en B: Dados dos conjuntos A y B, llamaremos relación de A en B a cualquier subconjunto de AxB. Llamaremosrelación binaria en A, a cualquier subconjunto de AxA.

Propiedades de Relaciones de A en A
Para ejemplificar las propiedades de las relaciones utilizaremos el conjunto A={1,2,3,4}. Propiedad reflexiva (o idéntica): Una relación R sobre un conjunto A es reflexiva si para todo x ∈ A entonces (x,x) ∈ R. En otras palabras una relación es reflexiva si todo elemento del conjunto sobre el que estádefinida, está relacionado consigo mismo. ∀ x ∈ A se cumple que (x,x) ∈ R. Ejemplo: R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} Otro ejemplo: R2 = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (2,3), (1,4) } Propiedad antirreflexiva, también llamada irreflexiva: Una relación R sobre un conjunto A es antirreflexiva si para todo x ∈ A se cumple que (x,x) ∉ R, es decir que ∀ x ∈ A se cumple que x no está relacionado consigo mismo.Ejemplo: R = { (1,2), (2,1), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4) } Propiedad simétrica: Una relación R sobre un conjunto A es simétrica si para todo x ∈ A, y ∈ A, si (x,y) ∈ R entonces (y,x) ∈ R. Dicho de otra forma: ∀ x,y ∈ A se cumple que si (x,y) ∈ R entonces (y,x) ∈ R Ejemplo: R = { (1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (4,2), (4,4) } Propiedad antisimétrica : Una relación R sobre un conjunto A esantisimétrica si para todo x ∈ A, y ∈ A, si x R y e y R x entonces x=y. De nuevo: ∀ x,y ∈ A se cumple que si (x,y), (y,x) ∈ R entonces x=y. Ejemplo: R={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} Pregunta: Si el par (1,3) pertenece a la relación, ¿podría estar el par (3,1)? Según la definición, si esta el (1,3) y está el (3,1) entonces debería ser 1=3, absurdo!!! Propiedad asimétrica:Una relación R sobre un conjunto A es asimétrica si para todo x ∈ A, y ∈ A, si (x,y) ∈ R entonces (y,x) ∉ R. Dicho de otra forma: ∀ x,y ∈ A se cumple que si (x,y) ∈ R entonces (y,x) ∉ R Ejemplo: R = { (1,2), (1,3), (2,4), (4,3) } Los pares (n,n) no pueden estar, por definición. Las relaciones asimétricas son antirreflexivas.

Profesores: Germán Ferrari y Saúl Tenembaumhttp://matematicagerman.blogspot.com/ - http://www.x.edu.uy/inet1.htm

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Profesorado de Informática - Ciencias de la Computación - INET – DFPD Matemática Discreta usando el computador 2010 (Matemática I) Propiedad transitiva: Una relación R sobre un conjunto A es transitiva si para todo x ∈ A, y∈ A, z∈ A si (x,y) ∈ R y (y,z) ∈ R entonces (x,z) ∈ R. ∀ x,y,z ∈ A se cumple que si (x,y), (y,z) ∈ R entonces(x,z) ∈ R. Ejemplo: R={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}

Relaciones de Orden
Relación de orden parcial: Una relación R sobre un conjunto A es una relación de orden parcial si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Ejemplo: La relación “inclusión” entre conjuntos es de orden parcial. • • • Reflexiva: ∀ A, se cumple que A ⊆ A. Antisimétrica: ∀ A,B se cumple que si A ⊆ B y B ⊆ A entonces A=BTransitiva: ∀ A,B,C se cumple que si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C

Observación: Existen conjuntos no vacíos que no son comparables, es decir que A ∩ B=∅, cumplen que A no está incluido en B, y viceversa, B no está incluido en A. Relación de orden total: Una relación R sobre un conjunto A es una relación de orden total si R es de orden parcial, pero además cumple que todos sus elementos estánrelacionados, es decir que ∀ x,y ∈ A, se cumple que x R y o bien y R x. ∀ x,y ∈ A, se cumple que (x,y) ∈ R o bien (y,x) ∈ R. Ejemplo: La relación “menor o igual” en el conjunto de los números reales es de orden total. • • Obviamente cumple con las propiedades mencionadas Además todos los elementos son comparables pues dados dos números reales x e y podemos decidir si: x ≤ y, y ≤ x ó x=y, cosa que...