Resumen sistemas dinamicos lineales

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SISTEMAS DINAMICOS
LINEALES
Si un sistema esta regido por una ecuación diferencial de la forma:
dydt+ay=bu
se denomina sistema diferencial de primer orden de entrada u (t) y salida y (t).
En la práctica se presentan múltiples sistemas que pueden ser representados por una ecuación diferencial de primer orden. Todo el conjunto se interpreta en un diagrama de bloques.



SISTEMASDE CONTROL
Los sistemas de control se han desarrollado para manejar máquinas o procesos, de modo que se reduzcan las probabilidades de fallos y se obtengan los resultados buscados. 
Los elementos básicos de cualquier sistema de control son 4: el elemento medidor, el elemento controlador, el valor establecido y el elemento corrector. 
Encontramos sistemas de control abierto y de controlcerrado.
Los sistemas de control abierto son aquellos en que la acción del controlador no se relaciona con el resultado final. Esto significa que no hay retroalimentación hacia el controlador para que éste pueda ajustar la acción de control.
Los sistemas de circuito cerrado usan la retroalimentación desde un resultado final para ajustar la acción de control en consecuencia. 

MODELADO
DESISTEMAS DINAMICOS

El modelado de un sistema dinámico consta de tres fases:
1. Decidir que señales son las de entrada y de salida, que variables son internas, y cuales son los parámetros (constantes) a tener en cuenta.

2. Escribir las relaciones matemáticas que relacionan las variables de entrada y salida de cada elemento.

3. Obtener un modelo en espacio de estado o mediantefunciones de transferencia del conjunto.

SISTEMAS MECANICOS
Comúnmente encontramos en los sistemas mecánicos las variables de fuerza, desplazamiento y velocidad. De acuerdo a la segunda ley de Newton:

Sistemas con Desplazamiento Lineal.
Un sistema con masa y razonamiento viscoso pertenece a un sistema de desplazamiento lineal, el cual analizaremos.
El siguiente grafico muestra unsistema con masa M, al cual se le aplica una fuerza exterior f(t), el rozamiento de la masa con la superficie da lugar a otra fuerza que se opone al desplazamiento:

Al aplicar la ley de Newton tenemos:
ft-Bdxdt=Md2xdt2
Si la fuerza aplicada, la velocidad y posición inicial son conocidas, entonces se puede determinar la posición x(t) en cualquier instante, luego las derivadas sucesivasdeterminaran la velocidad y la aceleración.

Ahora considere una fuerza exterior f(t) que actúa sobre una masa M unida a una pared con un muelle elástico (Sistema con fuerzas elásticas):

El muelle presenta una fuerza que se opone al desplazamiento y que puede suponerse proporcional a la elongación con constante de proporcionalidad k. el rozamiento de la masa con la superficie da lugar a otrafuerza que se opone al desplazamiento.
Al aplicar la ley de Newton tenemos:
ft-Bdxdt-Kx=Md2xdt2
Si la fuerza aplicada, la velocidad y posición inicial son conocidas, entonces se puede determinar la posición x(t) en cualquier instante, luego las derivadas sucesivas determinaran la velocidad y la aceleración.
Las ecuaciones de este sistema pueden representarse en el diagrama de bloques mostrado acontinuación:


Desplazamiento Angular
La ley de Newton para sistemas con desplazamiento angular es:
mt=Jαt=Jdωdt=Jd2θdt2,
donde mt es el par aplicado, J el momento de inercia y {θ,ω,α} la posición, velocidad y aceleración angular respectivamente.
Sistema de transmisión con ruedas: Sobre un eje 1 se aplica un par m1t, que gira a una velocidad ω1t. Está acoplado con otro eje 2 através de dos ruedas de radios r1 y r2, que ruedan sin deslizar. En el segundo eje hay una carga que tiene un momento de inercia J y sobre el actúa un par resistente (de carga) mL. En el tambor hay un par de rozamiento viscoso proporcional a la velocidad, con constante de proporcionalidad B.

En las ruedas se conserva la potencia (par x velocidad angular) de forma que se tiene la relación:...
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