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Resumen Complementos

Informáticos 09

Certamen 3 MAT022 2010-1

USM Campus Santiago

Espacios Vectoriales

Subespacios

Definición

Definición

Sea ܸ un conjunto no vacío y sea ‫ ܭ‬un cuerpo (por
ejemplo ℝ). Suponga que en ܸ se definen las
siguientes operaciones:
‫ݑ‬+‫ݒ‬
∀‫ݑ‬, ‫ܸ ∈ ݒ‬
(ii) Ponderación por escalar
ߣ‫ݒ‬
∀‫ܸ ∈ ݒ‬,
∀ߣ ∈ ‫ܭ‬

(i) Suma

Se dice que V conlas operaciones suma y ponderación
por escalar es un espacio vectorial si y solo si
∀‫ݑ‬, ‫ݒ‬, ‫ ܸ ∈ ݓ‬y ∀ߙ, ߚ ∈ ‫ ܭ‬se satisfacen las siguientes
propiedades
(1) Clausura de la suma
(2) Conmutatividad

‫ݑ‬+‫ܸ∈ ݒ‬

‫ݑ‬+‫ݒ= ݒ‬+ܷ

(3) Asociatividad
‫ ݑ‬+ ሺ‫ ݒ‬+ ‫ݓ‬ሻ = ሺ‫ ݑ‬+ ‫ݒ‬ሻ + ‫ݓ‬

(4) Elemento Neutro de la suma vectorial: 0
0+‫ݒ=ݒ‬
(5) Existe inverso aditivo: −‫ݒ‬

‫ ݒ‬+ሺ−‫ݒ‬ሻ = ሬ0Ԧ

(6) Clausura de la ponderación
ߙ‫ܸ ∈ ݒ‬

(7) Distribución respecto de la suma en el cuerpo K
(ߙ + ߚ)‫ ݒߙ = ݒ‬+ ߚ‫ݒ‬
(8) Distribución respecto del conjunto V
ߙሺ‫ ݑ‬+ ‫ݒ‬ሻ = ߙ‫ ݑ‬+ ߙ‫ݒ‬
(9) Asociatividad de la ponderación
ߙሺߚ‫ݒ‬ሻ = ሺߙߚሻ‫ݒ‬

(10) Neutro multiplicativo del cuerpo K: 1
1‫ݒ=ݒ‬

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Sea ܸ un espacio vectorial sobre ‫ ܭ‬y sea ܹ ⊆ ܸ. Se
diceque ܹ es un subespacio de ܸ si ܹ es un espacio
vectorial sobre ‫ ܭ‬respecto de las mismas operaciones
definidas en ܸ.

Notación

ܹ≤ܸ

Teorema

Sea ܸ un espacio vectorial sobre ‫ ܭ‬y sea ܹ ⊆ ܸ.
Entonces ܹ ≤ ܸ si y solo si se cumple:
(1) ܹ ≠ ∅
(2) Clausura de la suma:
‫ݓ‬1 + ‫ݓ‬2 ∈ ܹ, ∀‫ݓ‬1 , ‫ݓ‬2 ∈ ܹ
(3) Clausura de la ponderación:
ߙ‫ܹ ∈ ݓ‬, ∀‫ܭ ∈ ߙ∀ ܹ ∈ ݓ‬

Teorema

Sea ܸ unespacio vectorial sobre ‫ ܭ‬y sean ܹ1 , ܹ2 ≤ ܸ,
entonces:

Observación

ܹ1 ∩ ܹ2 ≤ ܸ

La Unión de subespacios no necesariamente es
subespacio.

Combinación Lineal
Definición

Sea ܸ un espacio vectorial sobre ‫ ܭ‬y sean
ܵ=
ሼ‫ݒ‬1 , ‫ݒ‬2 , … , ‫ݒ‬௄ ሽ y ‫ܸ ∈ ݒ‬. Se dice que ‫ ݒ‬es combinación
lineal del conjunto ܵ, si existen ߙ1 , ߙ2 , … , ߙ‫ ܭ ∈ ܭ‬tales
que:
‫ߙ = ݒ‬1 ‫ݒ‬1 + ߙ2 ‫ݒ‬2+ ⋯ + ߙ௄ ‫ݒ‬௄

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Certamen 3 MAT022 2010-1

USM Campus Santiago

Observación

Independencia Lineal

En todo espacio vectorial 0 es combinación lineal de
cualquier conjunto.

Definición

Conjunto Generado
Definición

Sea ܸ un espacio vectorial sobre ‫ ܭ‬y sea ܵ ⊆ ܸ. Se le
llama “conjunto generado por el conjunto ܵ” a todaslas combinaciones posibles de los elementos de ܵ.

Notación

< ܵ > : Conjunto generado por ܵ

Teorema

Sea ܸ un espacio vectorial sobre ‫ ܭ‬y sea ܵ ⊆ ܸ.
Entonces < ܵ > es un subespacio de ܸ

Observación

Dado el subespacio ܹ del espacio vectorial ܸ,
encontrar generadores para ܹ significa encontrar un
conjunto ܵ = ሼ‫ݒ‬1 , ‫ݒ‬2 , … , ‫ݒ‬௄ ሽ tal que ܹ =< ܵ >

Dependencia linealDefinición

Sea ܸ un espacio vectorial sobre ‫ ܭ‬y sea
ܵ=
{‫ݒ‬1 , ‫ݒ‬2 , … , ‫ܸ ⊆ } ܭݒ‬. Se dice que ܵ es un conjunto
linealmente dependiente si existen ߙ1 , ߙ2 , … , ߙ‫ܭ ∈ ܭ‬
no todos cero, tales que
ߙ1 ‫ݒ‬1 + ߙ2 ‫ݒ‬2 + ⋯ + ߙ‫ = ܭݒ ܭ‬0

Observaciones

(1) Un conjunto es Linealmente Dependiente si y solo
si existe al menos un vector que es combinación
lineal del resto de los elementos.(2) Todo conjunto que contiene al vector 0 es
Linealmente Dependiente.

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Sea ܸ un espacio vectorial sobre ‫ ܭ‬y sea
ܵ=
{‫ݒ‬1 , ‫ݒ‬2 , … , ‫ܸ ⊆ } ܭݒ‬. Se dice que ܵ es un conjunto
linealmente independiente si y solo si no es
linealmente dependiente, es decir, si existen
ߙ1 , ߙ2 , … , ߙ‫ܭ ∈ ܭ‬, tales que

Bases

ߙ1 ‫ݒ‬1 + ߙ2 ‫ݒ‬2 + ⋯ + ߙ‫ = ܭݒ ܭ‬0→ ߙ1 = ߙ2 = ⋯ = ߙ‫ = ܭ‬0

Definición

Sea ܸ un espacio vectorial sobre ‫ ܭ‬y sea ‫ܸ ⊆ ܤ‬. Se dice
que ‫ ܤ‬es una base para ܸ si y solo si se cumple que
(1) ܸ =< ‫ ܤ( > ܤ‬genera a ܸ)
(2) ‫ ܤ‬es un conjunto linealmente independiente

Teoremas

(1) Sea ܸ un espacio vectorial y suponga que ܸ tiene
una base de cardinalidad ݊. Entonces, todo
conjunto de más de ݊ elementos es...