Robotica
Páginas: 269 (67156 palabras)
Publicado: 7 de octubre de 2011
Teor a de ECUACIONES ALGEBRAICAS
L. COUDER A.
Teor a de ECUACIONES ALGEBRAICAS
Luciano Couder Alonso
Departamento de Matematicas Escuela Superior de F sica y Matematicas Instituto Politecnico Nacional
Mexico, 1996
A mis padres Norberta y Francisco
(en sus memorias)
A mi hijo Carlos
A mis hermanos
CONTENIDO
INTRODUCCION 0 PROPIEDADES DE LOS NUMEROS ENTEROS 0.1Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2 Algoritmo de la division . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3 Maximo comun divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.4 Primos relativos y numeros primos . . . . . . . . . . 0.5 El teorema fundamental de la aritmetica . . . . . . . 0.6 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 LOS NUMEROS COMPLEJOS 1.1 El conjunto de losnumeros complejos . . . . . . . . 1.2 Suma y multiplicacion de complejos . . . . . . . . . 1.3 Los complejos como parejas ordenadas . . . . . . . . 1.4 Complejos conjugados. Valor absoluto de complejos 1.5 Las ra ces cuadradas de un complejo . . . . . . . . . 1.6 Forma trigonometrica de un complejo . . . . . . . . 1.7 Formula de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Resolucion de laecuacion xn z = 0 . . . . . . . . . 1.9 Representacion geometrica de las ra ces de la ecuacion xn z = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Las ra ces n{esimas de la unidad . . . . . . . . . . . 1.11 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 15 15 17 19 23 24 25 31 31 34 41 42 46 50 54 58 62 63 66 67
. .. . . .
. . . . . . . . . . . .
2 POLINOMIOS 75 2.1 Conjuntos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.2 Suma y multiplicacion de polinomios . . . . . . . . . . 79 2.3 Divisibilidad de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . 90 9
10 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
CONTENIDO
El algoritmo de la division . . . . . . . . . . . . . . . El teorema del residuo y la division sintetica .. . . Maximo comun divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . Polinomios primos relativos y polinomios irreducibles EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
93 97 100 109 112
3 RAICES DE POLINOMIOS 117 3.1 Ra ces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.2 El teorema fundamental del algebra . . . . . . . . . . 122 3.3 Multiplicidad de ra ces . . . .. . . . . . . . . . . . . . 124 3.4 Ra ces imaginarias de polinomios con coe cientes reales129 3.5 Ra ces racionales de polinomios con coe cientes enteros131 3.6 Acotamiento de las ra ces reales de polinomios con coe cientes reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3.7 Factorizacion de un polinomio en polinomios de ra ces simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141 3.8 Relacion entre las ra ces y los coe cientes de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 3.9 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4 SEPARACION DE RAICES 4.1 Ra ces aisladas . . . . . . . . . 4.2 El signo de un polinomio para valores de la indeterminada . . 4.3 El teorema de cambio de signo 4.4 El teorema de Rolle . . . . . . 4.5 El teoremade Descartes . . . . 4.6 El teorema de Sturm . . . . . . 4.7 EJERCICIOS . . . . . . . . . . 163 . . . . . . . . 164 y peque~os n . . . . . . . . 164 . . . . . . . . 168 . . . . . . . . 176 . . . . . . . . 181 . . . . . . . . 189 . . . . . . . . 199 207 . 208 . 213 . 216 . 218 . 222 . 231 . 235 . 244
. . . . . grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 APROXIMACIONDE RAICES 5.1 Sucesiones monotonas y acotadas . . . . . . . . . . . 5.2 El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 El metodo de biseccion . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 El metodo de regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 El error de aproximacion en el metodo de regula falsi 5.7 El metodo de Newton . . . ....
L. COUDER A.
Teor a de ECUACIONES ALGEBRAICAS
Luciano Couder Alonso
Departamento de Matematicas Escuela Superior de F sica y Matematicas Instituto Politecnico Nacional
Mexico, 1996
A mis padres Norberta y Francisco
(en sus memorias)
A mi hijo Carlos
A mis hermanos
CONTENIDO
INTRODUCCION 0 PROPIEDADES DE LOS NUMEROS ENTEROS 0.1Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2 Algoritmo de la division . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3 Maximo comun divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.4 Primos relativos y numeros primos . . . . . . . . . . 0.5 El teorema fundamental de la aritmetica . . . . . . . 0.6 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 LOS NUMEROS COMPLEJOS 1.1 El conjunto de losnumeros complejos . . . . . . . . 1.2 Suma y multiplicacion de complejos . . . . . . . . . 1.3 Los complejos como parejas ordenadas . . . . . . . . 1.4 Complejos conjugados. Valor absoluto de complejos 1.5 Las ra ces cuadradas de un complejo . . . . . . . . . 1.6 Forma trigonometrica de un complejo . . . . . . . . 1.7 Formula de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Resolucion de laecuacion xn z = 0 . . . . . . . . . 1.9 Representacion geometrica de las ra ces de la ecuacion xn z = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Las ra ces n{esimas de la unidad . . . . . . . . . . . 1.11 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 15 15 17 19 23 24 25 31 31 34 41 42 46 50 54 58 62 63 66 67
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2 POLINOMIOS 75 2.1 Conjuntos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.2 Suma y multiplicacion de polinomios . . . . . . . . . . 79 2.3 Divisibilidad de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . 90 9
10 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
CONTENIDO
El algoritmo de la division . . . . . . . . . . . . . . . El teorema del residuo y la division sintetica .. . . Maximo comun divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . Polinomios primos relativos y polinomios irreducibles EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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93 97 100 109 112
3 RAICES DE POLINOMIOS 117 3.1 Ra ces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.2 El teorema fundamental del algebra . . . . . . . . . . 122 3.3 Multiplicidad de ra ces . . . .. . . . . . . . . . . . . . 124 3.4 Ra ces imaginarias de polinomios con coe cientes reales129 3.5 Ra ces racionales de polinomios con coe cientes enteros131 3.6 Acotamiento de las ra ces reales de polinomios con coe cientes reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3.7 Factorizacion de un polinomio en polinomios de ra ces simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141 3.8 Relacion entre las ra ces y los coe cientes de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 3.9 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4 SEPARACION DE RAICES 4.1 Ra ces aisladas . . . . . . . . . 4.2 El signo de un polinomio para valores de la indeterminada . . 4.3 El teorema de cambio de signo 4.4 El teorema de Rolle . . . . . . 4.5 El teoremade Descartes . . . . 4.6 El teorema de Sturm . . . . . . 4.7 EJERCICIOS . . . . . . . . . . 163 . . . . . . . . 164 y peque~os n . . . . . . . . 164 . . . . . . . . 168 . . . . . . . . 176 . . . . . . . . 181 . . . . . . . . 189 . . . . . . . . 199 207 . 208 . 213 . 216 . 218 . 222 . 231 . 235 . 244
. . . . . grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 APROXIMACIONDE RAICES 5.1 Sucesiones monotonas y acotadas . . . . . . . . . . . 5.2 El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 El metodo de biseccion . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 El metodo de regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 El error de aproximacion en el metodo de regula falsi 5.7 El metodo de Newton . . . ....
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