Secciones

Las secciones cónicas eran conocidas aproximadamente durante el siglo VII a.C. y el interés por estas curvas aumentaba a medida que se empleaban en la resolución de problemas. Pero un estudio sistemático y racional no comenzó hasta aproximadamente el primer siglo de la Época Helenista, la influencia de Apolonio sobre las secciones cónicas tiene una importancia mayor a la usual.
Duranteaproximadamente 150 años, se refirieron a ellas por la forma común a como habían sido descubiertas: secciones de un cono agudo, secciones de un cono rectángulo, y secciones de un cono obtuso. Arquímedes continúo utilizando estos nombres, aunque según parece también uso ya el nombre de parábola como sinónimo para una sección de un cono rectángulo. Sin embargo, fue Apolonio, posiblemente, siguiendo losconsejos de Arquímedes, quien hablo o nombro por primera vez, las secciones cónicas como "elipse" e "hipérbola". Los nombres dados no eran nuevos, sino que adaptados de un uso anterior, posiblemente obtenidos de los pitagóricos, como la solución de ecuaciones cuadráticas por el método de aplicación de áreas.
Elipsis, que significa una deficiencia, se utilizaba cuando un rectángulo dado debía aplicarsea un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado (u otra figura dada). Mientras que la palabra Hipérbola (de "avanzar más allá") se adopto para el caso en que el área excedía el segmento dado y por último la palabra Parábola (de "colocar al lado" o "comparar") indicaba que no había ni deficiencia ni exceso. Apolonio aplico estas palabras en un contexto nuevo utilizándolas con nombres para lassecciones cónicas.
Definición de las secciones cónicas
Son aquéllas secciones que resultan al intersecar una superficie cónica de revolución con un plano. Según la posición del plano secante, en la superficie pueden obtenerse una circunferencia, parábola, elipse hipérbola. Cumpliéndose que el conjunto de puntos que forma cada cónica tienen una misma propiedad, lo cual es característicafundamental de lo que en geometría llamamos lugar geométrico.
La sección producida por un plano perpendicular al eje es una circunferencia.

La sección producida por un plano paralelo a una de las generatrices es una parábola.

La sección producida por un plano que interseca a todas las generatrices de un mismo lado del vértice es una elipse.

La sección producida por un plano que interseca atodas las generatrices pero no en un mismo lado del vértice es una hipérbola.

Lugar geométrico y ecuaciones generales de las secciones cónicas
Desde un punto de vista analítico se puede definir cónica como la curva que responde a una ecuación del tipo:

Los valores que toman A, B, C, D, E y F, determinan el tipo de la cónica y su posición en el plano. Permitiendo que dichos coeficientestomen valores cualesquiera, además de los cuatro tipos de cónicas, se obtienen cónicas degeneradas e incluso cónicas imaginarias
Lugar Geométrico, es un conjunto de puntos que cumplen una misma propiedad.
Circunferencia:
Es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto ubicado en el mismo plano denominado centro. La distancia del centro a cualquier punto se denominaradio

Centro: C(a; b)
Radio: r
-Ecuaciones de la circunferencia

Circunferencia con centro en el punto (a, b)

Circunferencia con centro en el origen.

Ejemplo: Graficar:


Parábola:

Es el lugar de los puntos de un plano que equidistan de un punto y de una recta del mismo plano. El punto se denomina foco y la recta directriz.

-Componentes de la parábola
Foco: Es el puntofijo de F.
Directriz: Es la recta fija d.
Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.
Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
Vértice: Es el punto d e intersección de la parábola con sus eje.
Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.
-Ecuaciones

(Dependiendo si es vertical u...