Serie de fourier

5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Series y Transformada de Fourier
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Series de Fourier Transformada de Fourier

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Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier

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Series de Fourier
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Las series de Fourier describen señales periódicas como una combinación de señales armónicas (sinusoides). Con estaherramienta podemos analizar una señal periódica en términos de su contenido frecuencial o espectro. Nos permitirá establecer la dualidad entre tiempo y frecuencia, de forma que operaciones realizadas en el dominio temporal tienen su dual en el dominio frecuencial. Forma trigonométrica de las series de Fourier: se pretende describir una función periódica xp(t) de periodo T (frecuencia fundamental f0=1/T,ω0=2π f0).
x p (t ) = a0 + a1 cos(ω 0t ) +  + ak cos(kω 0t ) +  + b1 sin(ω 0t ) +  + bk sin(kω 0t ) +  2 a0 ∞ = + ∑ ak cos(kω 0t ) + bk sin(kω 0t ) 2 k =1
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier 2

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Series de Fourier
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En forma exponencial:
x

x p (t ) =

Se ha empleado la ecuación de Euler : e ± jα = cos α ± j sen α 1 x Sedemuestra que X s [k] = (ak − jbk ) 2 1 X S [k ] = ∫ xp (t )exp( jkω0t)dt − Ì Cálculo de los coeficientes TT
Ì

k =−∞

∑ X [k ]exp( jkω
s

∞

0

t)

Relación de Parseval
x

∞ 1 2 2 Px = ∫ x p (t )dt = ∑ Xs [k ] T T k = −∞

La potencia contenida en una señal puede evaluarse a partir de los coeficientes de su correspondiente serie de Fourier.

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Series de Fourier
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Espectro de señales periódicas : Los coeficientes Xs[k] son los coeficientes espectrales de la señal xp(t). La gráfica de esos coeficientes en función del índice armónico k ó de las frecuencias kω0, se denomina espectro. Hay dos tipos de gráficos, uno de magnitud con los coeficientes|Xs[k]| y otro de la fase de Xs[k]. La función |Xs[k]| así como la fase de Xs[k] son funciones discretas de la frecuencia. Es importante saber cuantos armónicos serán necesarios para reconstruir una señal dada. Para ello utilizaremos la relación de Parseval.

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Series de Fourier
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Unparámetro importante en la reconstrucción de señales es la velocidad de convergencia, o lo que es lo mismo la velocidad a la cual los coeficientes de Fourier tienden a 0. Propiedades Superposicion αx (t ) + βy (t ) ↔ αX [k ] + βY [k ]
p p S S

Derivada Integral Retraso Escalado

x ′ (t ) ↔ jk 2πf 0 X S [k ] p

(k ≠ 0)

∫0

t

x p (t )dt ↔

X [k ] +C jk 2πf 0

(k ≠ 0 )

x p (t −α ) ↔ X S [k ] exp( − jk 2πf 0α ) x p (αt ) ↔ X S [k ] (armonicos en f = kf 0α )
* x p ( − t ) ↔ X S [ − k ] = X S [k ]

Modulacion

cos( m 2πf 0 t ) x p (t ) ↔

1 { X S [k − m] + X S [k + m]} 2

Convolucion

1 x p (t + α ) + x p (t − α ) ↔ cos(2πf0 α ) X S [k ] 2 x p (t ) y p (t ) ↔ X S [k ]∗ YS [k ] x p (t ) • y p (t ) ↔ X S [k ]YS [k ]

{

}

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Series de Fourier
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Respuesta de un sistema a entradas periódicas
x

Tenemos un sistema cuya respuesta a impulso es h(t). Si sometemos esta sistema a una entrada armónica x(t)=exp(jωt), la respuesta y(t) será la convolución de h(t) con x(t):
y(t ) =
∞ −∞

∫ h(λ ) exp{ jω (t − λ )}dλ = exp( jωt ) ∫ h(λ ) exp( − jωλ)dλ =x (t ) H (ω )
−∞

∞

x

Como toda señal xp(t) puede ser expresada como una suma infinita de armónicos y aplicando el principio de superposición:
x p (t ) =
k =−∞

∑

∞

X S [k ] exp( jkω 0 t ) ↔ y p (t ) =

k =−∞

∑ X S [k ]H[kω 0 ]exp( jkω 0 t )

∞

x

x

La respuesta del sistema a una señal periódica es también una señal periódica de la misma frecuencia que la...