Series de fourier

1.1.6 Series Cosenoidal y Senoidal
Serie Cosenoidal






1.1.7 Funciones con periodo arbitrario



Suponga que f(t) es una función periódica de periodo T , realizando un cambiode variable, se desea convertirla en una función periódica de periodo 2 π. Considere

Note en particular que x(T) = 2 πT T = 2π. El siguiente paso es mostrar que f(x) es periódica de periodo 2 π,puesto que f(t) = f(t + T ), entonces

Por lo tanto, los resultados de las secciones anteriores pueden aplicarse al desarrollo
de la función en x. Por lo tanto,


Donde

y

El paso finalconsiste en expresar estos resultados en términos de la variable
original t, puesto que




Además, el desarrollo en Series de Fourier de una función periódica, f(t), de
periodo arbitrario T,está dada por



Las ecuaciones son la herramienta fundamental para el desarrollo de funciones periódicas no armónicas de periodo arbitrario. De nueva cuenta, si las funciones son pares o impares,las ecuaciones anteriores pueden simplificarse para su cálculo manual.

Ejemplo
En esta sección se determinara el desarrollo en series de Fourier de la función


periódica y de periodo 2π.Aplicando las ecuaciones (13 − 16), se tiene que el desarrollo en series de Fourier de la función está dada por


Mas aún, la gráfica de la aproximación de la función se muestra en la Figura
1.Finalmente, el espectro de Fourier de la función periódica se muestra en la
Figura 2.



Convergencia
Las series de Fourier cumplen con ciertas condiciones para que se cumpla la convergencia lascuales son:
1. y continuas en el intervalo por pedazos.
2. La serie de Fourier converge a la función f en los puntos continuos.
3. En los discontinuos la serie de Fourier converge a:
donde:Sea f(x) una función definida para todo x, con periodo 2π. Entonces, bajo condiciones muy generales, la serie de Fourier de f converge a f(x) para todo x. Describiremos un conjunto-de...