Series De Fourier

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SERIE DE FOURIER EN MEDIO INTERVALO

Material de apoyo
MATEMÁTICAS V

INGENIERÍA EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS

Clave de la asignatura: ACM-0407

|UNIDAD |NOMBRE|TEMAS Y SUBTEMAS |
|V |Series De Fourier |5.7 Serie de Fourier en mediointervalo |

5.7 Serie de Fourier en medio intervalo.

¿Qué es la Serie de Fourier?

En matemáticas, una serie de Fourier, que es llamada así enhonor de Joseph Fourier (1768-1830), es una representación de una función periódica como una suma de funciones periódicas de la forma

[pic]

que son armónicos de ei x; Fourier fue el primero queestudió tales series sistemáticamente, aplicándolas a la solución de la ecuación del calor y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Este área de investigación se llama algunas veces Análisisarmónico. Muchas tipos de otras transformadas relacionadas con la de Fourier han sido definidas desde entonces.

Definición de la serie de Fourier

Supongamos que [pic]es un conjunto infinitoortogonal de funciones en un intervalo [a,b]. Nos preguntamos: si y=f(x) es una función definida en el intervalo [a,b], ¿será posible determinar un conjunto de coeficientes [pic]0, 1, 2,..., para el cual[pic]

Como en la descripción anterior, cuando determinamos los componentes de un vector, también podemos determinar los coeficientes [pic]mediante el producto interno. Al multiplicar laecuación anterior por [pic]e integrar en el intervalo [a,b] se obtiene:

[pic]

[pic]

Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero, excepto cuando m=n. En estecaso tendremos

[pic]

[pic]

Entonces los coeficientes que buscamos son

[pic]

En otras palabras, [pic](1)

En la que [pic](2)

La ecuación 2, en notación de producto interno ( o...
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