Series de fourier

Divulgaciones Matem´ticas v. 5, No. 1/2 (1997), 43–60 a

Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones
Fourier series, Fourier Transforms and Applications Genaro Gonz´lez a
Departamento de Matem´tica y Computaci´n a o Facultad Experimental de Ciencias Universidad del Zulia. Apartado Postal 526 Maracaibo 4001 - Venezuela gonzalez@luz.ve Resumen En este art´ ıculo se estudian lasseries de Fourier en el c´ ırculo y la transformada de Fourier de funciones reales infinitamente diferenciables con todas sus derivadas r´pidamente decrecientes. a Tambi´n se dan ejemplos de algunas de las aplicaciones m´s ime a portantes del an´lisis de Fourier a varias ramas de la matem´tica a a y de la f´ ısica. Palabras y frases clave: Teorema del isomorfismo, serie de Fourier, transformada deFourier, identidad de Parseval, identidad de Plancherel, funciones de Schwartz.

Abstract In this article we study the Fourier series in the circle and the Fourier transform of infinitely diferentiable real functions with all its derivatives rapidly decreasing. We also provide examples of some of the most important aplications of Fourier analysis to several branches of mathematics and physics. Keywords and phrases: The isomorphism theorem, Fourier series, Fourier transform, Parseval identity, Plancherel identity, Schwartz functions.

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Genaro Gonz´lez a

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Introducci´n o

La idea b´sica de las series de Fourier es que toda funci´n peri´dica de per´ a o o ıodo T puede ser expresada como una suma trigonom´trica de senos y cosenos del e mismo per´ ıodo T . El problema aparecenaturalmente en astronom´ de hecho ıa, Neugebauer (1952) decubri´ que los Babilonios utilizaron una forma primitiva o de las series de Fourier en la predicci´n de ciertos eventos celestiales. o La historia moderna de las series de Fourier comenz´ con D’Alembert o (1747) y su tratado de las oscilaciones de las cuerdas del viol´ El desplazaın. miento u = u(t, x) de una cuerda de viol´ como una funci´ndel tiempo t y ın, o de la posici´n x, es soluci´n de la ecuaci´n diferencial o o o ∂2u ∂2u = , ∂t2 ∂x2 t > 0, 0 < x < 1,

sujeto a las condiciones iniciales u(t, 0) = u(t, 1) = 0 para t ≥ 0, ∂u (0, x) = 0 ∂t para 0 < x < 1. La soluci´n de este problema es la superposici´n de dos o o ondas viajando en direcciones opuestas a la velocidad 1, como lo expresa la f´rmula de D’Alembert: o u(t, x) = 11 f (x + t) + f (x − t), 2 2

en la cual f es una funci´n impar de per´ o ıodo 2 que se anula en los puntos x = 0, ±1, ±2, . . . Euler en 1748 propuso que tal soluci´n pod´ ser expresada o ıa en una serie de la forma f (x) = y como consecuencia u(t, x) =
∞ n=1 ∞ n=1

ˆ f (n) sin nπx,

ˆ f (n) cos nπt sin nπx.

Las mismas ideas fueron luego expuestas por D. Bernoulli (1753) y Lagrange(1759). La f´rmula o
1

ˆ f (n) = 2
0

f (x) sin nπx dx

para calcular los coeficientes apareci´ por primera vez en un art´ o ıculo escrito por Euler en 1777.

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La contribuci´n de Fourier comenz´ en 1807 con sus estudios del problema o o del flujo del calor ∂u 1 ∂2u = , ∂t 2 ∂x2 presentado a la Acad´mie des Sciences en 1811 ypublicado en parte como e la c´lebre Th´orie analytique de la chaleur en 1822. Fourier hizo un intento e e serio por demostrar que cualquier funci´n diferenciable puede ser expandida o en una serie trigonom´trica. Una prueba satisfactoria de este hecho fue dada e por Dirichlet en 1829. Riemann tambi´n hizo contribuciones importantes al e problema. Modernamente el an´lisis de Fourier ha sidoimpulsado por matem´ticos a a de la talla de Lebesgue, Hardy, Littlewood, Wiener, Frobenius, Selberg, Weil y Weyl entre otros. En este art´ ıculo se estudian los fundamentos te´ricos de mayor relevano cia de las series y transformadas de Fourier y se presentan algunas de sus aplicaciones.

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Espacios de Hilbert

Definici´n 1. Un espacio eucl´ o ıdeo es un espacio vectorial complejo H junto con...