Series fourier

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Formulario
1.1. Repaso matem´tico a
x y

z ∗ = x + jy =

x2 + y 2 ejθ = mejθ = m(cos(θ) + j sin(θ));

θ = arctan

b

e ·f =e
a

f

f (b)

−e

f (a)

sin(πx) sinc(x) = πx

N −1

N α = 1 − αN  n=0 1−α
n

 

α=1 α=1

b

+∞

δ(x)f (x)dx = f (x0 ) ⇐⇒ δ(x0 ) = 1 (si x0 ∈ [a, b]) Si N → +∞ y |α| < 1 ⇒
a n=0

αn =

1 1−α

1.2.

Relaci´n entresenoidales y exponenciales complejas o
cos(φ) = ejφ + e−jφ 2 sin(φ) = ejφ − e−jφ 2j

1 P ar{x(t)} = (x(t) + x(−t)) 2

1 Impar{x(t)} = (x(t) − x(−t)) 2

1 Re{x(t)} = (x(t) + x∗ (t)) 2 2π La se˜al x(t) = ejω0 t es peri´dica con periodo T0 = n o ω0 2π 2π La se˜al x[n] = ejΩ0 n es peri´dica con periodo N0 = n o si y s´lo si o es racional Ω0 Ω0

1.3.

Propiedades de Sistemas

1. Sistema Est´tico(sin memoria) La salida y(t) s´lo depende de la entrada en a o ese mismo instante x(t). 2. Sistema Din´mico (con memoria) La salida y(t) depende de x(τ ) con τ = t a 3. Sistema Invertible Un sistema H se dice que es invertible si x1 = x2 ⇒ Hx1 = Hx2 . El sistema inverso de H se denota por H I . 4. Sistema Causal La salida y(t) depende de x(τ ) con τ ≤ t. Por ejemplo, cualquier sistema est´tico. a5. Sistema Estable La salida y(t) est´ acotada para cualquier entrada x(t) que a tambi´n est´ acotada. e e 6. Sistema Inestable La entrada x(t) est´ acotada, pero la salida y(t) no lo est´. a a

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7. Sistema Lineal Un sistema H se dice que es lineal si cumple: H(a1 x1 + a2 x2 ) = a1 H(x1 ) + a2 H(x2 ) 8. Sistema Invariante en el Tiempo Si dada una entrada x1 (t) con su correspondiente saliday1 (t), al desplazar la entrada en el tiempo, x2 (t) = x1 (t − t0 ), la salida es la misma, pero desplazada en el tiempo en la misma proporci´n que la o entrada, es decir, y2 (t) = y1 (t − t0 )

1.4.

Convoluci´n o
+∞

y(t) =
−∞ +∞

x(τ )h(t − τ )dτ

y[n] =
k=−∞

x[k]h[n − k]

La convoluci´n es conmutativa, asociativa y distributiva. o

1.5.

Propiedades de Sistemas LIT

1.Memoria Un sistema no tiene memoria si su salida en un instante t (n, para sistemas discretos), s´lo depende la entrada en ese mismo instante t (n). o Para sistemas continuos, sabiendo que
+∞

y(t) =
−∞

x(τ )h(t − τ )dτ

no tienen memoria cuando h(t − τ ) = 0 si τ = t, es decir, si h(t) = 0 para todo t=0 Para sistemas discretos, sabiendo que
+∞

y[n] =
k=−∞

x[k]h[n − k]

notienen memoria cuando h[n − k] = 0 si k = n, es decir, si h[n] = 0 para todo n=0 2. Invertibilidad Un sistema es invertible cuando se puede construir su se˜al inn versa h[n] ∗ hI [n] = δ[n] h(t) ∗ hI (t) = δ(t) 3. Causalidad Un sistema es causal si su salida y(t) (y[n] para sistemas discretos) depende de la entrada x(τ ) (x[k]) con τ ≤ t (k ≤ n) Para sistemas continuos, sabiendo que
+∞

y(t) =
−∞x(τ )h(t − τ )dτ

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son causales cuando h(t − τ ) = 0 si τ > t, es decir, si h(t) = 0 para todo t > 0 Para sistemas discretos, sabiendo que
+∞

y[n] =
k=−∞

x[k]h[n − k]

son causales cuando h[n − k] = 0 si k > n, es decir, si h[n] = 0 para todo n > 0 4. Estabilidad Un sistema es estable si para cualquier entrada x(t) (x[n] para sistemas discretos) acotada, su salida y(t) (y[n])tambi´n est´ acotada. e a Para sistemas continuos
+∞ +∞

y(t) =
−∞

x(τ )h(t − τ )dτ

|y(t)| ≤
−∞

|x(τ )| · |h(t − τ )|dτ

Y si x(t) est´ acotada, entonces |x(τ )| < M y por lo tanto, a
+∞

|y(t)| ≤ M
−∞

|h(t − τ )|dτ

Por ultimo, ´
+∞

|h(t)|dt
−∞

est´ acotado si y s´lo si H es estable. a o Para sistemas discretos
+∞ +∞

y[n] =
k=−∞

x[k]h[n − k]

|y[n]| ≤k=−∞

|x[k]| · |h[n − k]|

Y si x[n] est´ acotada, entonces |x[k]| < M y por lo tanto, a
+∞

|y[n]| ≤ M
k=−∞

|h[n − k]|

Por ultimo, ´
+∞

|h[n]|
n=−∞

est´ acotado si y s´lo si H es estable. a o

1.6.

Serie de Fourier
+∞

x(t) =
k=−∞

ak ejkω0 t

Las unicas frecuencias que pueden aparecer en una se˜al x(t) son aquellas que son ´ n m´ltiplos de la frecuencia...