Series y suceciones

SUCESIONES DE NUMEROS REALES
Definición de sucesión. Sea a:N R una función, es decir, ∀ n ∈ N ∃ a n = a ( n ) ∈ R

Al conjunto

{a ( n )} ⊂

R

se le llama una sucesión en R.

Al conjunto

{a n }∞=1 n

usualmente se le llama una sucesión y a

an

se le conoce como el n-ésimo término de la sucesión.

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SUCESIONES MONOTONAS

{an }∞=1 esCRECIENTE, si an < an +1 , ∀n ∈ N n

Sea {an }n =1 una sucesion real, se dice que la Sucesion :
∞

{n }

2 ∞ n =1

{an }∞=1 es una sucesion no decreciente, si an ≤ an +1 , ∀n ∈ N n {an }∞=1 es DECRECIENT E, si an > an +1 , ∀n ∈ N n {an }∞=1 es una sucesion no creciente, si n
1   n    y  2  son sucesiones Decrecient es  n  n =1  n + 1 n =1 an ≥ an +1 , ∀n ∈ N
∞ ∞

 n  ∞ ;{2n}n =1 y   son sucesiones Crecientes  n + 1  n =1

∞

Las Sucesiones crecientes , no decrecient es, decrecient es y no crecientes son llamadas SUCESIONES MONOTONAS.
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SUCESIONES ACOTADAS

{a }

∞ n n =1

es una sucesion ACOTADA SUPERIORMENTE, si
∞ n n =1

∃ M ∈ R/ an ≤ M , ∀n ∈ N La Sucesion {a

}

1 ; an = es acotada superiormente por M = 1 n{a }

∞ n n =1

es una sucesion ACOTADA INFERIORMENTE, si
∞ n n =1

∃ m ∈ R/ an ≥ m, ∀n ∈ N La Sucesion {a

}

; an = n n es acotada inferiormente por m = 1

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Se dice que la Sucesion {an }n =1 es ACOTADA, si es acotada
∞

SUPERIOR E INFERIORMENTE, es decir que : ∃ m, M ∈ R/ m ≤ an ≤ M , ∀n ∈ N . n +1 es acotada superiormente por M = 2 2 n einferiormente por m = 0 La Sucesion {an }n=1 ; an =
∞ ∞

La Sucesion {an }n =1 es ACOTADA, si ∃c > 0/ a n ≤ c, ∀n ∈ N
Una sucesión creciente que está acotada superiormente, es convergente. Una sucesión decreciente que esta acotada inferiormente, es convergente.

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LIMITE DE UNA SUCESION Si los terminos de la Sucesion {an }n =1 se aproximan a un numero
∞real L cuando n es cada vez mas grande, se dice que la sucesion tiende a L o converge a L. DEFINICION.
n →∞

lim an = L ⇔ ∀ε > 0 ∃ N 0 ∈ N ; (N 0 (ε ) ) tal que, si n > N 0 Si lim an ∃ es unico.
n →∞

entonces a n − L < ε . CONVERGENC IA DE SUCESIONES Si lim an = L ⇒ la Sucesion {an }n =1 Converge.
∞

Cuando este límite no existe ⇒ la sucesión {an }n =1
∞

n →∞

es divergente.21/06/2011 NOLAN JARA JARA 5

PROPIEDADES
Sean {a n }; {b n }sucesiones Convergentes y : lim an = L1 ; lim bn = L2 ; k : constante ⇒
n →∞ n →∞

1º ) lim(kan ) = k lim an = kL1
n →∞ n →∞

2º ) lim(an ± bn ) = lim an ± lim an = L1 ± L2
n →∞ n →∞ n →∞

3º ) lim(an . bn ) = lim an · lim bn = L1· L2
n →∞ n →∞ n →∞

 an  lim an L1 4º ) lim  = n→∞ = ; L2 ≠ 0 n →∞  b   n  lim bn L2 n→∞
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LIMITES ESPECIALES sen ( xn ) = 0 ∀x ∈ R. lim n→ ∞ n lim
n n→ ∞

n = 1.

lim sen ( 1 ) n n→∞ lim

(

)

1

n

=1

1  lim  1 +  = e n→ ∞ n  sen ( 1 ) n =1 lim n→ ∞ 1 n   1 n − =0 lim n→∞ sen ( 1 )  n  

n

n→ ∞

1 1 ln   = 0 n n

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TEOREMA DEL SANDWICH Si a n ≤ cn ≤ bn ∀n ∈ N ylim an = lim bn = L
n →∞ n →∞

entonces lim cn = L
n →∞

cos1 + cos 2 + L + cos n cn = 2 n Sea {a n } una sucesión convergente tal que lim an = 0 y { b n } una sucesión
n →∞

acotada ⇒ la sucesión {a n .b n } es convergente y lim anbn = 0
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n →∞

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SUB SUCESION Sean a : N → R/a(n) = a n una SUCESION y k : N → N/y = k(n) una funcion creciente, entonces ao k : N → R/(a o k)(n) = a(k(n)) es una SUB SUCESION (a o k)(n) = a(k(n)) = ak n

{2n}

∞ n =1

es una Subsucesion de {n}

∞ n =1

Si una SUCESION es Convergente, entonces cualquier SUB SUCESION , tambien es convergente.Lo reciproco

{(1) } Es una Sucesion Convergente y es una Subsucesion de {(-1) } Pero {(-1) } No es Convergente.
n ∞ n =1 n ∞ n =1 n ∞ n =1
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