Series y sucesiones
Páginas: 7 (1680 palabras)
Publicado: 21 de julio de 2010
Sucesión Infinita
En lenguaje sencillo, una sucesión [pic] es un arreglo ordenado de números reales, uno para cada entero positivo. Más formalmente, una seción infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos y cuyo rango es un cojunto de números reales. Podemos indicar una sucesión por [pic], [pic] por [pic], o simplemente por [pic]. En algunos casos, se permiteque el dominio conste de todos los enteros mayores o iguales a un entero específico, como en [pic] … y [pic], …, que se denotan como [pic] y [pic], respectivamente.
Una sucesión puede quedar especificada dando los términos iniciales suficientes para establecer un patrón, como en: 1, 4, 7, 10, 13, ..., mediante fórmula explícita para el n-ésimo término, como en
[pic]
O mediante unafórmula de recursión
[pic]
Sucesión Convergente
La sucesión [pic] converge a L y escribimos
[pic]
Si para cada número positivo ( hay un número positivo correspondiente N tal que
[pic]
Si no hay número finito L al que converja una sucesión, se dice que ésta diverge, o que es divergente.
Ahora, considerando las siguientes sucesiones:
1) [pic][pic]
2) [pic] [pic]
3) [pic] [pic]
4) [pic] [pic]
Cada una de estas sucesiones tiene valores que se apilancerca de 1 (véase los diagrama de la figura 1). Pero no todos convergen a 1. Las sucesiones [pic] y [pic] convergen a 1, pero [pic] y [pic] no.Para que una sucesion converja a 1, primero debe ocurrir que los valores de la sucesión se acerquen a 1. Pero deben hacer algo más que estar cerca; deben permanecer cerca, para toda n más allá de cierto valor. Esto descarta a la sucesión [pic]. Además, cerca significa arbitrariamente cerca, es decir, dentro de cualquier distancia no nula dada con respecto de 1, lo que descarta la sucesión[pic]. Aunque la sucesión [pic] no converge a 1, es correcto decir que converge a 0.9999. la sucesión [pic] simplemente no converge y se dice que diverge.
Series
En una cierta famosa paradoja conocida al menso hace 2400 años, Zenón de Elea dijoq ue un corredor no puede terminar una carrera, pues priemro debe recorrer la mita de la distancia, luego la mitad de la distancia restante, luego lamitad de la distancia aún restante, y así sucesivamente, por siempre. Como el tiempo del corredor es finito, no puede recorrer el nñumero infinito de segmentos del recorrido. Aún así, se sabe que lso corredores realmente terminan las carreras.
Si se imagina un trayecto de la carrera de 1 milla de longitud, los segmentos del argumento de Zenón tendrán entonces [pic] milla, [pic] de milla, [pic]de milla, etc. (figura 2). En lenguaje matemático, terminar la carrera equivale a evaluar la suma
[pic]
lo que podría parecer imposible. Pero hasta ahora, lapalabra suma se ha definido sólo par la suma de una cantidad finita de términos.
Defiendo brevemente Sumas parciales,
Dada la serie infinita
[pic].
Se define una sucesión S especificando
[pic]
[pic]
La sucesión Srecibe el nombre de sucesión de sumas parciales de la serie.
Ahora,
Considerando las sumas parciales
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Es claro que estas sumas parciales se acercan de manera creciente a 1. De hecho,
[pic]
Entonces, la sumainfinita se define como el límite de la suma parcial de Sn.
Más en general, considerando la serie infinita
[pic]
que también se indica[pic] o [pic]. Entonces [pic], la n-ésima suma parcial, está dada por
[pic]
Entonces, se puede establecer la definición de Serie Convergente, como:
La serie infinita [pic] converge y tiene suma S si la sucesión de sumas parciales [pic] converge a S. Si [pic] diverge, entonces la serie diverge. Una serie divergente no tiene suma.
Criterios para establecer la Convergencia o Divergencia...
En lenguaje sencillo, una sucesión [pic] es un arreglo ordenado de números reales, uno para cada entero positivo. Más formalmente, una seción infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos y cuyo rango es un cojunto de números reales. Podemos indicar una sucesión por [pic], [pic] por [pic], o simplemente por [pic]. En algunos casos, se permiteque el dominio conste de todos los enteros mayores o iguales a un entero específico, como en [pic] … y [pic], …, que se denotan como [pic] y [pic], respectivamente.
Una sucesión puede quedar especificada dando los términos iniciales suficientes para establecer un patrón, como en: 1, 4, 7, 10, 13, ..., mediante fórmula explícita para el n-ésimo término, como en
[pic]
O mediante unafórmula de recursión
[pic]
Sucesión Convergente
La sucesión [pic] converge a L y escribimos
[pic]
Si para cada número positivo ( hay un número positivo correspondiente N tal que
[pic]
Si no hay número finito L al que converja una sucesión, se dice que ésta diverge, o que es divergente.
Ahora, considerando las siguientes sucesiones:
1) [pic][pic]
2) [pic] [pic]
3) [pic] [pic]
4) [pic] [pic]
Cada una de estas sucesiones tiene valores que se apilancerca de 1 (véase los diagrama de la figura 1). Pero no todos convergen a 1. Las sucesiones [pic] y [pic] convergen a 1, pero [pic] y [pic] no.Para que una sucesion converja a 1, primero debe ocurrir que los valores de la sucesión se acerquen a 1. Pero deben hacer algo más que estar cerca; deben permanecer cerca, para toda n más allá de cierto valor. Esto descarta a la sucesión [pic]. Además, cerca significa arbitrariamente cerca, es decir, dentro de cualquier distancia no nula dada con respecto de 1, lo que descarta la sucesión[pic]. Aunque la sucesión [pic] no converge a 1, es correcto decir que converge a 0.9999. la sucesión [pic] simplemente no converge y se dice que diverge.
Series
En una cierta famosa paradoja conocida al menso hace 2400 años, Zenón de Elea dijoq ue un corredor no puede terminar una carrera, pues priemro debe recorrer la mita de la distancia, luego la mitad de la distancia restante, luego lamitad de la distancia aún restante, y así sucesivamente, por siempre. Como el tiempo del corredor es finito, no puede recorrer el nñumero infinito de segmentos del recorrido. Aún así, se sabe que lso corredores realmente terminan las carreras.
Si se imagina un trayecto de la carrera de 1 milla de longitud, los segmentos del argumento de Zenón tendrán entonces [pic] milla, [pic] de milla, [pic]de milla, etc. (figura 2). En lenguaje matemático, terminar la carrera equivale a evaluar la suma
[pic]
lo que podría parecer imposible. Pero hasta ahora, lapalabra suma se ha definido sólo par la suma de una cantidad finita de términos.
Defiendo brevemente Sumas parciales,
Dada la serie infinita
[pic].
Se define una sucesión S especificando
[pic]
[pic]
La sucesión Srecibe el nombre de sucesión de sumas parciales de la serie.
Ahora,
Considerando las sumas parciales
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Es claro que estas sumas parciales se acercan de manera creciente a 1. De hecho,
[pic]
Entonces, la sumainfinita se define como el límite de la suma parcial de Sn.
Más en general, considerando la serie infinita
[pic]
que también se indica[pic] o [pic]. Entonces [pic], la n-ésima suma parcial, está dada por
[pic]
Entonces, se puede establecer la definición de Serie Convergente, como:
La serie infinita [pic] converge y tiene suma S si la sucesión de sumas parciales [pic] converge a S. Si [pic] diverge, entonces la serie diverge. Una serie divergente no tiene suma.
Criterios para establecer la Convergencia o Divergencia...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.